ההשכלה

תרגיל 1:
(תלות לינארית של פונקציונל:) נתבונן ב-

\mathbb {R} ^{R}

כמרחב וקטורי מעל

\mathbb {R}

תת מרחב

U

של

\mathbb {R} ^{R}

.

מוגדר $v=span(x,x^{3})$ עבור $c\in \mathbb {R}$ .

נגדיר פונקציל לינארי $l_{c}:U\rightarrow \mathbb {R}$ כך ש- $l_{c}(f)=f(c)$ לכל $f\in U$ .

האם קיימים $a,b\in \mathbb {R}$ $a\neq 0,\ b\neq 0,a\neq b$ כך ש- $(l_{a},l_{b})$ ת"ל?

נתון כי $l_{c}(f)=f(c)$ וכן גם $f(c)\in U$ ולכן הוא נפרש על ידי הווקטורים $v=span(x,x^{3})$ כלומר $Zx+Zx^{3}$ . נציב $f(c)=Zc+Zc^{3}$ .

נמצא את $l_{a},l_{b}$ :

$l_{a}(f)=f(a)=f(a)=Za+Za^{3}$ .

$l_{b}(f)=f(b)=f(b)=Zb+Zb^{3}$ .

קבלנו כי $(l_{a},l_{b})=(Za+Za^{3},Zb+Zb^{3})$ .

נבנה צירוף לינארי ונבדוק האם תלוי לינארית: ${\begin{aligned}\Lambda (Za+Za^{3})+\Delta (Zb+Zb^{3})=0\\\Lambda Za+\Lambda Za^{3}+\Delta Zb+\Delta Zb^{3}=0\\\end{aligned}}$

ההשכלה

תרגילים בפונקציונלים