משפט 1: אסוציאטיביות כפל מטריצות נתונות מטריצות: ${\displaystyle A}$ בגודל ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B}$ בגודל ${\displaystyle l\times m}$ ${\displaystyle C}$ בגודל ${\displaystyle k\times l}$ אז ${\displaystyle \underbrace {(CB)} _{kxm}\underbrace {A} _{mxn}=\underbrace {C} _{kxl}\underbrace {(BA)} _{lxn}}$.

נסמן: ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{11}&\dots &b_{1m}\\\vdots &&\vdots \\b_{l1}&\dots &b_{lm}\end{bmatrix}}}$ ו- ${\displaystyle C={\begin{bmatrix}c_{11}&&c_{1l}\\\\c_{k1}&&c_{kl}\end{bmatrix}}}$

נכפל את המטריצות ונסמן, ${\displaystyle \underbrace {BA} _{lxn}=G={\begin{bmatrix}g_{11}\\\\&&g_{ln}\end{bmatrix}}}$

וגם ${\displaystyle \underbrace {CB} _{kxm}=H={\begin{bmatrix}h_{11}\\\\&&h_{km}\end{bmatrix}}}$

נכפיל את המטריצות שהתקבלו במטריצה שלישית ונוכיח כי שתי ההכפלות זהות:

• נתבונן על מכפלה ${\displaystyle CG}$: המקדם בשורה ה -${\displaystyle i}$ והעמודה ה-${\displaystyle j}$ של ${\displaystyle CG}$ הינו ${\displaystyle \sum _{r=1}^{l}c_{ir}g_{rj}=\sum _{r=1}^{l}c_{ir}\cdot \left(\sum _{s=1}^{m}b_{rs}\cdot a_{sj}\right)=\sum _{r=1}^{l}\sum _{s=1}^{m}c_{ir}\cdot b_{rs}\cdot a_{sj}}$
• נתבונן על מכפלה ${\displaystyle HA}$: המקדם בשורה ה -${\displaystyle i}$ והעמודה ה-${\displaystyle j}$ של ${\displaystyle HA}$ הינו ${\displaystyle \sum _{s=1}^{m}h_{is}\cdot a_{sj}=\sum _{s=1}^{m}\left(\sum _{r=1}^{l}c_{ir}\cdot b_{rs}\right)\cdot a_{sj}=\sum _{s=1}^{m}\sum _{r=1}^{l}c_{ir}\cdot b_{rs}\cdot a_{sj}}$

שני הביטויים זהה ולכן מכפלת שלוש המטריצות שווה.