משפט 1.8.1: קימת העתקה הפיכה ממרחב הפונקציות למרחב הוקטורים

יהי ${\displaystyle V}$ מ"ו מעל ${\displaystyle \mathbb {F} }$ נוצר סופית, ${\displaystyle \dim V=n}$(התמונה והטווח שווים). אז קיימת ה"ל ממרחב הפונקציות הפיכה ${\displaystyle T:\mathbb {F} ^{n}\to V}$

הוכחה: ניקח בסיס סדור כלשהו של ${\displaystyle V}$. נסמנו ${\displaystyle B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)}$.

נגדיר ${\displaystyle T:\mathbb {F} ^{n}\to V}$ ע"י ${\displaystyle T:{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}=c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}}$. T היא ה"ל כי:

• אדטיביות :${\displaystyle T\left({\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}d_{1}\\\vdots \\d_{n}\end{pmatrix}}\right)=T\left({\begin{pmatrix}c_{1}+d_{1}\\\vdots \\c_{n}+d_{n}\end{pmatrix}}\right)=\left(c_{1}+d_{1}\right)v_{1}+...+\left(c_{n}+d_{n}\right)v_{n}=c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}+d_{1}v_{1}+...d_{n}v_{n}=T\left({\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\right)+T\left({\begin{pmatrix}d_{1}\\\vdots \\d_{n}\end{pmatrix}}\right)}$
• הומוגניות - בדומה מראים ש ${\displaystyle T\left(c\cdot {\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\right)=c\cdot T\left({\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\right)}$.

נראה ש ${\displaystyle \ker T=\left\{{\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\right\}}$ :

אם ${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\in kerT}$ אז ${\displaystyle c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}=T{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}=0}$

מאחר ש ${\displaystyle B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)}$ בת"ל מתקיים ${\displaystyle c_{1}=...=c_{n}}$ כלומר ${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}}$ ו ${\displaystyle \ker T=\left\{0\right\}}$ .

אז לפי הטענה הקודמת T הפיכה.

הערה: אם ${\displaystyle S}$ העתקה ליניארית ההפוכה של

${\displaystyle T\left[{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}x_{2}&\cdots &x_{n}a_{1n}\\a_{21}x_{1}&a_{22}x_{2}&\cdots &a_{2n}x_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+&a_{m2}x_{2}&\cdots &a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}}$ אז ${\displaystyle S\left(v\right)=\left[v\right]_{B}}$