שקלו לדלג על נושא זה

עד לימוד הנושא השלמת קבוצה בת"ל כך שתפרוש את המרחב

הגדרה 1: פעולות עמודה

נתונה מטריצה ${\displaystyle A\in M_{m\times n}}$. יש 3 פעולות עמודה אלמנטריות. נסמן את העמודה ה-${\displaystyle i}$ ב-${\displaystyle C_{i}}$:

1. ${\displaystyle C_{i}\to c\cdot C_{i}}$ כאשר ${\displaystyle 0\neq c\in \mathbb {F} }$
2. ${\displaystyle C_{i}\to c\cdot C_{j}}$ כאשר ${\displaystyle i\neq j}$
3. ${\displaystyle C_{i}\leftrightarrow C_{j}}$

טענה 1: לכל פעולת עמודה אלמנטרית יש פעולה הפוכה

טענה 2: לכל פעולת עמודה אלמנטרית ${\displaystyle \epsilon }$ ניתן להתאים מטריצה: ${\displaystyle \epsilon \left(I_{n}\right)}$ (לא ${\displaystyle I_{m}}$ בניגוד לפעולות שורה)

טענה 3: ביצוע של פעולת עמודה אלמנטרית ${\displaystyle \epsilon }$ על מטריצה ${\displaystyle A}$ נותן מטריצה ${\displaystyle A\cdot \left(\epsilon \left(I_{n}\right)\right)}$ - המטריצה האלמנטרית מצד ימין בפעולות עמודה.

טענה 4: נתונות ${\displaystyle A,B\in M_{m\times n}}$. נסמן את העמודה ה -${\displaystyle i}$ של ${\displaystyle A}$ ב-${\displaystyle v_{i}}$, ונסמן את העמודה ה-${\displaystyle i}$ של ${\displaystyle B}$ ו-${\displaystyle w_{i}}$. אם ${\displaystyle B}$ מתקבלת מ-${\displaystyle A}$ ע"י סדרת פעולות עמודה אלמנטריות, אז ${\displaystyle span\left(v_{1},..,v_{n}\right)=span\left(w_{1},..,w_{n}\right)}$

נניח בלי הגבלת הכלליות ש-${\displaystyle B}$ מתקבלת מ${\displaystyle A}$ ע"י פעולת עמודה אלמנטרית אחת.

נסמן ${\displaystyle \epsilon \left(I_{n}\right)=P={\begin{bmatrix}p_{1}&&p_{1n}\\\\p_{n1}&&p_{nn}\end{bmatrix}}}$. אז ${\displaystyle B=AP}$.

מכיוון ראשון ${\displaystyle span\left(w_{1},..,w_{n}\right)\subset span\left(v_{1},..,v_{n}\right)}$:

יהי ${\displaystyle w\in span\left(w_{1},..,w_{n}\right)}$, קיימים ${\displaystyle c_{1},..,c_{n}\in \mathbb {F} }$ כך ש ${\displaystyle w=c_{1}w_{1}+...+c_{n}w_{n}}$.

מההגדרה מתקיים: ${\displaystyle w_{1}=A{\begin{bmatrix}p_{11}\\\vdots \\p_{1n}\end{bmatrix}}=p_{11}v_{1}+...+p_{1n}v_{n}}$ וכן הלאה לכל ${\displaystyle w_{i}=A\cdot {\begin{bmatrix}p_{i1}\\\vdots \\p_{in}\end{bmatrix}}=p_{i1}v_{1}+...+p_{in}v_{n}}$.

נציב את ${\displaystyle w_{i}}$ במשוואה של ${\displaystyle w}$ ונקבל צירוף ליניארי ${\displaystyle w_{\text{i}}=\left(p_{i1}v_{1},..p_{in}v_{n}\right)}$ ולכן ${\displaystyle w\in span\left(v_{1},..,v_{n}\right)}$.

מכיוון שני, ${\displaystyle span\left(w_{1},..,w_{n}\right)\supseteq span\left(v_{1},..,v_{n}\right)}$

אם ${\displaystyle B}$ מתקבלת מ${\displaystyle A}$ ע"י פעולת עמודה אלמנטרית, אז גם ${\displaystyle A}$ מתקבלת מ ${\displaystyle B}$ בצורה זו. (ההכלה דו כיוונית)

ולכן ${\displaystyle span\left(w_{1},..,w_{n}\right)=span\left(v_{1},..,v_{n}\right)}$

טענה 5: השלמה לבסיס

תהי ${\displaystyle R\in M_{m\times n}}$ מטריצה מדורגת מצומצמת עמודות בעלת ${\displaystyle l}$ איברים מובילים. אז ${\displaystyle n-l}$ עמודות אחרונות של ${\displaystyle R}$ הן אפסים.

נסמן ב-${\displaystyle i_{1}<i_{2}..<i_{l}}$ מספרי שורות של ${\displaystyle R}$ שמכילות איבר מוביל. ונסמן ב-${\displaystyle j_{1}<..<j_{m-l}}$ מספרי השורות ללא איבר מוביל.

נסמן את העמודה ה-${\displaystyle i}$ של ${\displaystyle R}$ ב-${\displaystyle w_{i}}$ , אז:

1. ${\displaystyle \left(w_{1},..,w_{l}\right)}$ מהווה בסיס של ${\displaystyle span\left(w_{1},..,w_{n}\right)}$
2. אם נוסיף את ${\displaystyle \left(w_{1},..,w_{l},e_{j_{1}},..,e_{j_{n-l}}\right)}$ - נוסיף וקטורים מהבסיס הסטנדרטי בשורות שלא היה בהן איבר מוביל, נקבל בסיס של ${\displaystyle \mathbb {F} ^{m}}$.

דוגמה 1:

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {1}}&0&0&0\\2&0&0&0\\0&{\boldsymbol {1}}&0&0\\4&7&0&0\\0&0&{\boldsymbol {1}}&0\end{bmatrix}}}$ אז ${\displaystyle l=3,i_{1}=1,i_{2}=3,i_{3}=5,j_{1}=2,j_{2}=4}$ אזי ${\displaystyle \left(w_{1},w_{2},w_{3},e_{2},e_{4}\right)}$ מהווה בסיס של ${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$