משפט 1: יהיו ${\displaystyle V,W}$ מ"ו מעל ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ו-${\displaystyle T:V\to W}$ ה"ל אז העתקה ${\displaystyle T}$ היא על אם ורק אם ${\displaystyle ImT=W}$.

משפט 2: יהיו ${\displaystyle V,W}$ מ"ו מעל ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ו-${\displaystyle T:V\to W}$ ה"ל אז העתקה ${\displaystyle T}$ היא חח"ע אם ורק אם ${\displaystyle \ker T=\left\{0\right\}}$ .

כיוון 1:

אם ${\displaystyle T}$ חח"ע, אז לכל ${\displaystyle w\in W}$ מתקיים ${\displaystyle \left|T^{-1}\left(w\right)\right|\leq 1}$ בפרט ${\displaystyle \left|\ker T\right|=\left|T^{-1}\left(0\right)\right|\leq 1}$. כמו כן מתקיים ${\displaystyle 0\in \ker T}$ לכן ${\displaystyle \ker T=\left\{0\right\}}$ .

כיוון 2:

נניח כי ${\displaystyle \ker T=\left\{0\right\}}$ ונוכיח כי T חח"ע. ניקח ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ כאשר ${\displaystyle v_{1}\neq v_{2}}$. נניח בשלילה כי ${\displaystyle T\left(v_{1}\right)=T\left(v_{2}\right)}$ אז ${\displaystyle T\left(v_{1}\right)-T\left(v_{1}\right)=T\left(v_{1}-v_{2}\right)=0}$ ולכן ${\displaystyle v_{1}-v_{2}\in \ker T=\left\{0\right\}}$ כלומר ${\displaystyle v_{1}=v_{2}}$, סתירה להנחה ש ${\displaystyle v_{1}\neq v_{2}}$.

דוגמה 1: דוגמאות למשפט 1 ולמשפט 2

1. ${\displaystyle 0:V\to W}$ העתקת אפס מ${\displaystyle V}$ ל${\displaystyle W}$ אז ${\displaystyle img0=0}$ ו-${\displaystyle \ker 0=V}$.
2. ${\displaystyle Id_{V}:V\to V}$ אז ${\displaystyle imgId_{v}=V}$ ו${\displaystyle \ker Id_{v}=0}$.
3. ${\displaystyle A\in M_{m\times n}}$ ${\displaystyle T_{A}:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} ^{m},T_{A}\left(v\right)=Av}$ לכל ${\displaystyle v\in \mathbb {F} ^{n}}$ אז
   • קבוצת הפתרונות של מ"מ הומוגנית עם מטריצה היא הגרעין : ${\displaystyle A:\ker T_{A}=\left\{v\in \mathbb {F} ^{n}\mid Av=0\right\}}$
4. קבוצת הפתרונות של מ"מ עם מטריצה היא התמונה : ${\displaystyle ImT_{A}=\left\{Av\mid v\in \mathbb {F} ^{n}\right\}=\left\{b\in \mathbb {F} ^{m}\mid Ax=b\,has\,a\,solution\ or\ more\right\}}$
5. ${\displaystyle D:\mathbb {R} \left[\left[x\right]\right]\to \mathbb {R} \left[\left[x\right]\right]}$ , ההעתקה הליניארית של הנגזרת: ${\displaystyle D\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...\right)=a_{1}+2a_{2}x+...}$ אז ${\displaystyle \ker D=\left\{a_{0}+0x+0x^{2}\mid a_{0}\in \mathbb {R} \right\}imgD=\mathbb {R} \left[\left[x\right]\right]}$ כי אם ${\displaystyle b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+...\in \mathbb {R} \left[\left[x\right]\right]}$ אז הנגזרת ${\displaystyle D\left(0+b_{0}x+{\frac {b_{1}}{2}}x^{2}+{\frac {b_{2}}{3}}x^{3}+...\right)}$ כלומר ${\displaystyle f\in imgD}$.
6. ${\displaystyle \mathbb {F} }$ שדה, ${\displaystyle S}$ קבוצה ו ${\displaystyle s\in S,T_{s}:\mathbb {F} ^{S}\to \mathbb {F} }$, ו${\displaystyle T_{s}\left(f\right)=f\left(s\right)}$.אז ${\displaystyle \ker T_{s}=\left\{f\in \mathbb {F} ^{S}\mid f\left(s\right)=0\right\}}$. בנוסף ${\displaystyle imgT_{s}=\mathbb {F} }$, כי אם ${\displaystyle c\in \mathbb {F} }$, נגדיר ${\displaystyle f:S\to \mathbb {F} }$ ע"י הפונקציה ${\displaystyle f\left(x\right)=c}$ לכל ${\displaystyle x\in \mathbb {F} }$.אז ${\displaystyle T_{s}\left(f\right)=f\left(s\right)=c}$, כלומר ${\displaystyle C\in img\left(T_{s}\right)}$.

משפט 8.1: הבסיס של התחום הוא קבוצה הפורשת של התמונה

יהיו ${\displaystyle V,W}$ מרחבים וקטוריים מעל ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ותהי ${\displaystyle T:V\to W}$ ה"ל.

אם ${\displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V}$ הם בסיס של ${\displaystyle V}$ אז ${\displaystyle im(T)=span{T(v_{1}),...,T(v_{n})}}$

משפט 8.1: העתקה של ${\displaystyle v=0}$

יהיו ${\displaystyle V,W}$ מרחבים וקטוריים מעל ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ותהי ${\displaystyle T:V\to W}$ ה"ל אזי ${\displaystyle T(0_{v})=0_{w}}$.

הגדרה 1: דרגה

יהי ${\displaystyle V,W}$ מ"ו ו ${\displaystyle T:V\to W}$ ה"ל. אם ${\displaystyle kerT,\ imgT}$נוצרים סופית מגדירים את הדרגה של ${\displaystyle T}$ כ-${\displaystyle {\mbox{rank}}(T)=\dim({\mbox{Im}}(T))}$)

הגדרה 2: אפסיות ${\displaystyle \nu }$ או null

יהי ${\displaystyle V,W}$ מ"ו ו ${\displaystyle T:V\to W}$ ה"ל. אם ${\displaystyle kerT,\ imgT}$נוצרים סופית מגדירים את האפסיות של ${\displaystyle T}$ כ${\displaystyle {\text{null}}T=\dim \left(\ker T\right)}$