משפט 1: יהי ${\displaystyle V}$ מ"ו מעל ${\displaystyle \mathbb {F} }$ נוצר סופית, ${\displaystyle U}$ תמ"ו של ${\displaystyle V}$ אז ${\displaystyle \dim U^{0}+\dim U=\dim V}$.

מאחר ש${\displaystyle V}$ נוצר סופית גם Uנוצר סופית כי ${\displaystyle U\leq V}$.

יהי בסיס ${\displaystyle \left(v_{1},..,v_{k}\right)}$ ל${\displaystyle U}$ בת"ל.

ניתן להרחיב את הבסיס ל${\displaystyle B=\left(v_{1},..,v_{k},v_{k+1},..,v_{n}\right)}$ - בסיס של ${\displaystyle V}$ .

יהי ${\displaystyle B^{*}=\left(l_{1},..,l_{n}\right)}$ הבסיס הדואלי ל B.

הפונקציונלים ${\displaystyle \left(l_{k+1},..,l_{n}\right)\in U^{0}}$ כי לכל ${\displaystyle k+1\leq i\leq n}$ולכל ${\displaystyle 1\leq j\leq k}$מתקיים ${\displaystyle l_{i}\left(v_{j}\right)=0}$(בסיס ${\displaystyle U}$).

לכן לכל צירוף לינארי של ווקטורי ${\displaystyle u}$ מתאפס גם: לכל ${\displaystyle k+1\leq i\leq n}$ ולכל ${\displaystyle u\in U}$ מתקיים ש ${\displaystyle l_{i}\left(u\right)=0}$.

נראה ש${\displaystyle \left(l_{k+1},..,l_{n}\right)}$ בסיס של ${\displaystyle U^{0}}$:

• ${\displaystyle \left(l_{k+1},..,l_{n}\right)}$ בת"ל כי ${\displaystyle B^{*}}$ בת"ל.
• יהי ${\displaystyle l\in U^{0}}$ אז לפי הטענה הקודמת מתקיים פורשת את ${\displaystyle U^{0}}$

לסיכום ${\displaystyle \left(l_{k+1},..,l_{n}\right)}$ הבסיס של ${\displaystyle U^{0}}$ ולכן ${\displaystyle \dim U^{0}=n-k=\dim V-\dim U}$.