תהי ${\displaystyle A\subseteq V}$ בת"ל, תהי ${\displaystyle B}$ קבוצה פורשת סופית ל־${\displaystyle V}$, ויהי ${\displaystyle {\vec {a}}\in A}$.

אזי קיים ${\displaystyle {\vec {b}}\in B\setminus (A\setminus \{{\vec {a}}\})}$ עבורו ${\displaystyle (A\setminus \{{\vec {a}}\})\cup \{{\vec {b}}\}}$ בת"ל.

נסדר את אברי ${\displaystyle A}$ כך ש־${\displaystyle {\vec {a}}}$ יהיה האחרון. נסמן ${\displaystyle A=\{{\vec {a}}_{1},\ldots ,{\vec {a}}_{m},{\vec {a}}\},\ B=\{{\vec {b}}_{1},\ldots ,{\vec {b}}_{n}\}}$.

מכיון ש־${\displaystyle B}$ פורשת, קיימים מקדמים שעבורם ${\displaystyle {\vec {a}}=\sum _{i\,=\,1}^{n}\beta _{i}{\vec {b}}_{i}}$.

אם כל אברי ${\displaystyle B}$ הם צירופים לינאריים של אברי ${\displaystyle A\setminus \{{\vec {a}}\}}$ אזי קיימים מקדמים שעבורם ${\displaystyle {\vec {b}}_{i}=\sum _{j\,=\,1}^{m}\alpha _{ij}{\vec {a}}_{j}}$

ולכן ${\displaystyle {\vec {a}}=\sum _{i\,=\,1}^{n}\left(\sum _{j\,=\,1}^{m}\alpha _{ij}\right)\beta _{i}{\vec {a}}_{j}}$, בסתירה לכך ש־${\displaystyle A}$ בת"ל.

לכן קיים ${\displaystyle {\vec {b}}\in B}$ שאינו צ"ל של ${\displaystyle A\setminus \{{\vec {a}}\}}$. לכן ברור כי ${\displaystyle {\vec {b}}\notin A\setminus \{{\vec {a}}\}}$, כלומר ${\displaystyle {\vec {b}}\in B\setminus (A\setminus \{{\vec {a}}\})}$.

מהיות ${\displaystyle A}$ בת"ל כל אחד מאברי ${\displaystyle A\setminus \{{\vec {a}}\}}$ אינו צ"ל של קודמיו.

${\displaystyle {\vec {b}}}$ אינו צ"ל של ${\displaystyle A\setminus \{{\vec {a}}\}}$, כל אחד מאברי ${\displaystyle A\setminus \{{\vec {a}}\}}$ אינו צ"ל של קודמיו, ולכן ${\displaystyle (A\setminus \{{\vec {a}}\})\cup \{{\vec {b}}\}}$ בת"ל.

משפט 1: יהי ${\displaystyle A\subseteq V}$ בת"ל ו־${\displaystyle B\subseteq V}$ פורשת סופית. אזי ${\displaystyle |B|\geq |A|}$. נסמן את ${\displaystyle |B|=n}$. נניח בשלילה שקיימת ${\displaystyle C=\{u_{1},\ldots ,u_{n+1}\}\subseteq A}$, אזי ${\displaystyle C}$ בת"ל. לפי משפט ההחלפה (אם נפעיל אותו על כל אברי C) נקבל שקיימת ${\displaystyle D=\{w_{1},\ldots ,w_{n+1}\}\subseteq B}$ בת"ל כאשר ${\displaystyle w_{i}\neq w_{j}}$. אבל לא קיימים ${\displaystyle n+1}$ אברים ב־${\displaystyle B}$, ולכן לא קיימת ${\displaystyle D\subseteq B}$ שעבורה ${\displaystyle |D|=n+1}$, בסתירה.