יהי ${\displaystyle U={\begin{cases}\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{4}|{\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}-x_{3}=0\\x_{1}-x_{4}=0\end{array}}\end{cases}}}$ ו-${\displaystyle W={\begin{cases}\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{4}|{\begin{array}{c}x_{1}+x_{4}=0\\3x_{1}-x_{2}-x_{3}=0\end{array}}\end{cases}}}$

• נמצא מערכת פתרונות למערכות:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1&1&-1&0\\1&0&0&-1\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&-1\\0&1&-1&1\end{array}}\right]}$ אזי מערכת הפתרונות הינה ${\displaystyle \left\{\left[{\begin{array}{c}0\\1\\1\\0\end{array}}\right]t_{1}+\left[{\begin{array}{c}1\\-1\\0\\1\end{array}}\right]t_{2}|t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \right\}}$ ולכן ${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}0\\1\\1\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}1\\-1\\0\\1\end{array}}\right]}$ בסיס.

נמצא בסיס עבור W: ${\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\3&-1&-1&0\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&1&1&3\end{array}}\right]}$ אזי מערכת הפתרונות הינה ${\displaystyle \left\{\left[{\begin{array}{c}0\\-1\\1\\0\end{array}}\right]t_{1}+\left[{\begin{array}{c}-1\\-3\\0\\1\end{array}}\right]t_{2}|t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \right\}}$ ולכן ${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}0\\-1\\1\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}-1\\-3\\0\\1\end{array}}\right]}$ בסיס.

• נבצע דירוג לפי שורות ל-${\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}0&1&0&-1\\1&-1&-1&-3\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{cccc}1&-1&-1&-3\\0&1&0&-1\\0&0&2&4\\0&0&0&-1\end{array}}\right]}$

קבלנו מטריצה משולשת ולכן אם נמשיך לדרג נקבל מטריצה יחידה. על כן בכל שורה ועמודה יש איבר מוביל ועל כן ${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}0\\-1\\1\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}-1\\-3\\0\\1\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}0\\1\\1\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}1\\-1\\0\\1\end{array}}\right]}$ בסיס של סכום הוקטורים