הגדרה 1: מכפלת מטריצות

תהא ${\displaystyle A\in M_{m\times n}}$, ותהא ${\displaystyle B\in M_{p\times m}}$ (מספר השורות של מטריצה ${\displaystyle A}$ שווה למספר העמודות של מטריצה ${\displaystyle B}$, ראה דוגמה). נסמן את העמודות של מטריצה ${\displaystyle A}$ ב־${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$ אז המטריצה ${\displaystyle BA\in M_{p\times n}}$ ועמודותיה תהינה ${\displaystyle Bc_{1},\ldots ,Bc_{n}}$ או לחילופין ${\displaystyle (AB)_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}}$.

דוגמה 1: כפל מטריצות

נדגים כפל עמודה עמודה. תהי ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&3\\3&2&6\end{bmatrix}}}$ בגודל ${\displaystyle 2\times 2}$ ולכן מטריצה ${\displaystyle B}$ מוכרחת להיות בעלת עמודות בגודל 2. תהי ${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\1&0\end{bmatrix}}}$

אזי ${\displaystyle BA\in M_{3\times 3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Bc_{1}={\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7\\6\\1\end{bmatrix}}\\Bc_{2}={\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\2\\0\end{bmatrix}}\\Bc_{3}={\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}15\\15\\3\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

מכאן ${\displaystyle BA={\begin{bmatrix}7&4&15\\6&2&15\\1&0&3\end{bmatrix}}}$

לחילופין, ניתן לבצע סכום של שורה כפול כפול עמודה:

${\displaystyle BA={\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&3\\3&2&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 1+2\cdot 3&1\cdot 0+2\cdot 2&1\cdot 3+2\cdot 6\\3\cdot 1+1\cdot 3&3\cdot 0+1\cdot 2&3\cdot 3+1\cdot 6\\1\cdot 1+0\cdot 3&1\cdot 0+0\cdot 2&1\cdot 3+0\cdot 6\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7&4&15\\6&2&15\\1&0&3\end{bmatrix}}}$

אזי ${\displaystyle AB\in M_{2\times 2}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}AC_{1}=1\cdot {\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}}+3\cdot {\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}}+1\cdot {\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\15\end{bmatrix}}\\AC_{2}=2\cdot {\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}}+1\cdot {\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}}+0\cdot {\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\15\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\8\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

אז ${\displaystyle AB={\begin{bmatrix}4&2\\15&8\end{bmatrix}}}$

כפי שניתן לראות כפל מטריצות אינו קומוטטיבי, ${\displaystyle AB\neq BA}$. כאשר ${\displaystyle AB=BA}$ אז ${\displaystyle A,B}$ נקראות "מתחלפות".

הגדרה 2: האיבר במיקום ה־${\displaystyle c_{ij}}$

תהא ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}\in M_{m\times n}}$, ותהא ${\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{11}&\dots &b_{1m}\\\vdots &&\vdots \\b_{l1}&\dots &b_{lm}\end{bmatrix}}\in M_{p\times m}}$ אז המטריצה ${\displaystyle BA=C={\begin{bmatrix}c_{11}&&c_{1n}\\\\c_{l1}&&c_{ln}\end{bmatrix}}\in M_{p\times n}}$

כאשר האיבר במיקום ה־${\displaystyle c_{ij}}$ הינו ${\displaystyle c_{ij}=b_{1j}\cdot a_{1j}+b_{i2}\cdot a_{2j}+\cdots +b_{im}a_{mj}=\sum _{r=1}^{m}b_{ir}\cdot a_{rj}}$

דוגמה 3: ערך האיבר במיקום ה־${\displaystyle c_{ij}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&3\\4&1&2\\3&3&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&2\\3&1&0\\0&2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\\&&c_{ij}\\\\\end{bmatrix}}}$

אז מאחר ש־${\displaystyle c_{ij}}$ השורה השניה (${\displaystyle i=2}$) ובעמודה השלישית (${\displaystyle j=3}$) במטריצה שלנו, ${\displaystyle c_{ij}=c_{23}=4\cdot 2+1\cdot 0+2\cdot 1}$

הגדרה 6: כפל מטריצות

כפל מטריצות בין מטריצה ${\displaystyle A}$ ,מטריצה ${\displaystyle B}$ מסומן כ${\displaystyle AB}$ אם כופלים מצד ימין, או לחלופין ${\displaystyle BA}$ אם כופלים מצד שמאל, הכפל ${\displaystyle AB}$ מוגדר רק כאשר אם ${\displaystyle A}$ מסדר ${\displaystyle m\times n}$, אז ${\displaystyle B}$ מסדר ${\displaystyle n\times z}$, כלומר הדרישה היא שמספר העמודות במטריצה הימנית יהיה שווה למספר השורות במטריצה השמאלית.

כאשר הכפל ${\displaystyle AB}$ מוגדר, כלומר כאשר ${\displaystyle A\in M_{m,n}(\mathbb {F} ),B\in M_{n,z}(\mathbb {F} )}$, האיבר במקום ה${\displaystyle (i,j)}$ במטריצה ${\displaystyle AB}$, יהיה מוגדר כ${\displaystyle \sum _{l=1}^{m}\ a_{il}b_{lj}}$, כלומר נרוץ על סכימת הכפל של כל זוג איברים.

דוגמא: ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}5&4\\3&2\end{pmatrix}}}$ אזי מתקיים ${\displaystyle AB={\begin{pmatrix}5+6&4+4\\15+12&12+8\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}11&8\\27&20\end{pmatrix}}}$.