הגדרה 7.2: מטריצת מעבר id

יהי ${\displaystyle V}$ מ"ו נוצר סופית. ${\displaystyle B,C}$ בסיסים של ${\displaystyle V}$.

נתבונן בה"ל ${\displaystyle Id_{V}:V\to V}$ אז ${\displaystyle \left[Id\right]_{C}^{B}\left[v\right]_{B}=\left[v\right]_{C}}$.

מטריצת ${\displaystyle \left[Id\right]_{C}^{B}}$ נקראת מטריצת מעבר מ-${\displaystyle B}$ ל${\displaystyle C}$.

דוגמה 1:

${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$ , ${\displaystyle B=\left({\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right)}$, ${\displaystyle C={\mathcal {E}}=\left(e_{1},e_{2}\right)}$ ו-${\displaystyle \left[v\right]_{\mathcal {E}}={\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}}$ נמצא את ${\displaystyle {\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}}$ בבסיס ${\displaystyle B}$ כלומר בכמה יש להזיז את ${\displaystyle v_{E}}$ בכדי ליצג על מערכת הצירים שראשיתה ב-${\displaystyle B}$.

${\displaystyle \left[v\right]_{B}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$?

אז ${\displaystyle \left[Id\right]_{\mathcal {E}}^{B}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}}$ ומתקיים ${\displaystyle {\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}=x_{1}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+x_{2}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$ לכן ${\displaystyle \left[v\right]_{B}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}}$