יהיה ${\displaystyle B,D}$ בסיסים של ${\displaystyle R}$, ותהיה העתקה לינארית, ${\displaystyle T:R^{2}\to R^{2}}$ כך ש- ${\displaystyle [T]_{D}^{B}={\begin{bmatrix}6&-9\\-9&12\end{bmatrix}}}$. כמו גם נתון ${\displaystyle [T]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}2&4\\3&-5\end{bmatrix}}}$ כאשר ${\displaystyle C={\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}}}$ בסיס של ${\displaystyle R^{2}}$. מצא את ${\displaystyle D}$.

פתרון: ידוע כי ${\displaystyle [T(v)]_{C}=[T]_{c}^{b}*{\color {red}[v]_{b}}}$

נמצא את ווקטורי ${\displaystyle [v]_{b}}$ לפי בסיס ${\displaystyle C={\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}}}$:

נתון כי ${\displaystyle [T]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}2&4\\3&-5\end{bmatrix}}}$ כלומר

${\displaystyle [T(v_{1})]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}}$ ו-${\displaystyle [T(v_{2})]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}4\\-5\end{bmatrix}}}$

נמצא את ${\displaystyle t(v_{1})}$:

${\displaystyle T(v_{1})=2*{\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}+3*{\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\6\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}3\\15\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7\\21\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle T(v_{2})=4*{\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}-5*{\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8\\12\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}-5\\-25\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\13\end{bmatrix}}}$

נמצא את ווקטורי ${\displaystyle [v]_{b}}$ לפי בסיס ${\displaystyle D}$:

נתון: ${\displaystyle [T]_{D}^{B}={\begin{bmatrix}6&-9\\-9&12\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle [T(v_{1})]={\begin{bmatrix}6\\-9\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle [T(v_{1})]={\begin{bmatrix}-9\\12\end{bmatrix}}}$

נבטא את ${\displaystyle D={w_{1},w_{2}}}$ על כן מתקיים ש-${\displaystyle t(v)}$:

${\displaystyle t(v_{1})=6w_{1}-9w_{2}={\begin{bmatrix}7\\21\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle t(v_{2})=9w_{1}+12w_{2}={\begin{bmatrix}3\\13\end{bmatrix}}}$

נפתור את מערכת המשוואות (ניתן לפרק את ${\displaystyle w_{1}={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$