הגדרה 1: מאפס

יהי ${\displaystyle V}$ מ"ו מעל ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ו${\displaystyle S}$ תת קבוצה של math>V</math>.

אז המאפס של ${\displaystyle S}$ מוגדר ע"י: ${\displaystyle S^{0}=\left\{l:V\to \mathbb {F} \ \backslash V^{*}\mid \forall v\in S\,\,\,\,l\left(v\right)=0\right\}}$ (כל האיברים המאפסים את ${\displaystyle S}$)

טענה 1: ${\displaystyle S^{0}}$ הוא תמ"ו של ${\displaystyle V^{*}}$.

1. ${\displaystyle 0:V\to \mathbb {F} }$ שייך ל${\displaystyle S^{0}}$.
2. סגירות לחיבור - אם ${\displaystyle l,m\in S^{0}}$ אז לכל ${\displaystyle v\in S}$ אז ${\displaystyle l\left(v\right)=m\left(v\right)=0}$ ולכן ${\displaystyle \left(l+m\right)\left(v\right)=0}$. כלומר ${\displaystyle l+m\in S^{0}}$.
3. סגירות לכפל - אם ${\displaystyle l\in S^{0}}$ אז לכל ${\displaystyle v\in S}$ אז ${\displaystyle l\left(v\right)=0}$ ולכן לכל ${\displaystyle c\in \mathbb {F} }$ אז ${\displaystyle \left(c\cdot l\right)\left(v\right)=c\cdot l\left(v\right)=c\cdot 0=0}$ ולכן ${\displaystyle cl\in S^{0}}$.

טענה 2: ${\displaystyle \left\{0\right\}^{0}=V^{*}}$

טענה 3: ${\displaystyle V^{0}=\left\{0:V\to \mathbb {F} \right\}}$

טענה 3: אם ${\displaystyle S_{1}\subset S_{2}}$ אז ${\displaystyle S_{2}^{0}\subset S_{1}^{0}}$.

יהי ${\displaystyle l\in S_{2}^{0}}$. לכל ${\displaystyle v\in S_{2}}$ מתקיים ש ${\displaystyle l\left(v\right)=0}$. יהי ${\displaystyle u\in S_{1}}$, אז ${\displaystyle u\in S_{2}}$ ולכן ${\displaystyle l\left(u\right)=0}$. ולכן ${\displaystyle l\in S_{1}^{0}}$.