משפט 1: העתקה חח"ע אםם על

יהי ${\displaystyle V}$ מ"ו נוצר סופית, ו־${\displaystyle T:V\to V}$ ה"ל. ${\displaystyle T}$ היא העתקה חח"ע אמ"מ ${\displaystyle T}$ על.

הוכחה:

1. אם ${\displaystyle T}$ חח"ע אז ${\displaystyle \ker(T)=\{{\vec {0}}\}}$, מכאן ${\displaystyle {\text{null}}(T)=0}$. ממשפט הממדים השני ${\displaystyle \dim {\bigl (}{\text{Im}}(T){\bigr )}={\text{rank}}(T)=\dim(V)}$. ומאחר ש־${\displaystyle {\text{Im}}(T)}$ תת־מרחב של ${\displaystyle V}$ מתקיים ${\displaystyle {\text{Im}}(T)=V}$. כלומר ${\displaystyle T}$ על.
2. אם ${\displaystyle T}$ על, אז ${\displaystyle {\text{Im}}(T)=V}$ ולכן ${\displaystyle \dim {\bigl (}{\text{Im}}(T){\bigr )}={\text{rank}}(T)=\dim(V)}$. מהמשפט מתקיים ${\displaystyle {\text{null}}(T)={\vec {0}}}$. לכן ${\displaystyle \ker(T)=\{{\vec {0}}\}}$ ומכאן ${\displaystyle T}$ חח"ע.

משפט 1: אם העתקה היא חח"ע והפוכה

יהיו ${\displaystyle V,W}$ מ"ו מעל ${\displaystyle \mathbb {F} }$ נוצרים סופית, עבורם ${\displaystyle \dim V=\dim W,T:V\to W}$. התנאים הבאים שקולים:

1. ${\displaystyle \ker(T)=\{{\vec {0}}\}}$, כלומר ${\displaystyle T}$ חח"ע.
2. ${\displaystyle {\text{Im}}(T)=W}$, כלומר ${\displaystyle T}$ על.
3. ל־${\displaystyle T}$ יש העתקה הפוכה.

הוכחה: הטענה נובעת מהמשפט של הרכבה הפיכה

• ${\displaystyle 1\Rightarrow 2,\ 2\Rightarrow 1}$ משפט הממדים
• ${\displaystyle 3\Rightarrow 1,\ 3\Rightarrow 2}$ כי כל הפיכה היא חח"ע ועל