הגדרה 1: גרעין

יהיו ${\displaystyle V,W}$ מרחבים וקטוריים מעל ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ותהי ${\displaystyle T:V\to W}$ ה"ל. הגרעין של ${\displaystyle T}$ הנו ${\displaystyle {\text{Ker}}(T)=\{v\in V:T(v)={\vec {0}}_{W}\}\subseteq V}$

משפט 1: ${\displaystyle \ker(T)}$ הוא תת־מרחב של ${\displaystyle V}$

נוכיח הגדרת תת־מרחב:

1. מאחר ש־${\displaystyle T({\vec {0}})={\vec {0}}}$ מתקיים ${\displaystyle {\vec {0}}\in {\text{Ker}}(T)}$.
2. סגירות לחיבור: אם ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\in \ker(T)}$ אז ${\displaystyle T({\vec {v}}_{1})=T({\vec {v}}_{2})={\vec {0}}}$ מכאן ${\displaystyle T({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=T({\vec {v}}_{1})+T({\vec {v}}_{2})={\vec {0}}+{\vec {0}}={\vec {0}}}$
3. סגירות לכפל גם תרגיל.

הגדרה 8.1: תמונה

יהיו ${\displaystyle V,W}$ מרחבים וקטוריים מעל ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ותהי ${\displaystyle T:V\to W}$ ה"ל. התמונה של ${\displaystyle T}$ תהיה

${\displaystyle {\text{Im}}(T)=\{T({\vec {v}}):{\vec {v}}\in V\}=\{{\vec {w}}\in W:\exists \ {\vec {v}}\in V:T({\vec {v}})={\vec {w}}\}\subseteq W}$

משפט 2: ${\displaystyle {\text{Im}}(T)}$ היא תת־מרחב של ${\displaystyle W}$

נוכיח הגדרת תת‏־מרחב:

1. מאחר ש־${\displaystyle T({\vec {0}})={\vec {0}}}$ מתקיים ${\displaystyle {\vec {0}}\in {\text{Im}}(T)}$.
2. סגירות לחיבור: אם ${\displaystyle {\vec {w}}_{1},{\vec {w}}_{2}\in {\text{Im}}(T)}$ אזי קיימים ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\in V}$ עבורם

   ${\displaystyle T({\vec {v}}_{1})={\vec {w}}_{1},T({\vec {v}}_{2})={\vec {w}}_{2}}$

   ${\displaystyle T({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=T({\vec {v}}_{1})+T({\vec {v}}_{2})={\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}}$

   לכן ${\displaystyle {\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}\in {\text{Im}}(T)}$.

3. בדיקת סגירות ביחס לכפל בסקלר בדומה.

הגדרה 1.8.1: האפסיות של T

האפסיות של ${\displaystyle T}$ שווה לממד הגרעין כלומר ${\displaystyle \nu (T)=\dim {\bigl (}{\text{Ker}}(T){\bigr )}}$