משפט 1: ${\displaystyle U+W={\text{span}}(U\cup W)}$

משפט 2: איחוד של תתי מרחב אינו בהכרח תת מרחב

משפט: יהי ${\displaystyle V}$ מרחב ווקטורי, ${\displaystyle U,W}$ תת־מרחבים של ${\displaystyle V}$ כך ש־${\displaystyle U}$ אינו מוכל ב־${\displaystyle W}$ וגם ${\displaystyle W}$ אינו מוכל ב־${\displaystyle U}$. אזי ${\displaystyle U\cup W}$. כלומר איחוד של תת־מרחב אינו בהכרח תת־מרחב.

יהי ${\displaystyle V}$ מ"ו מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} ,W_{1},W_{2}}$ תת מרחב של ${\displaystyle V}$ כך ש־${\displaystyle W_{1},W_{2}\neq V}$ אזי ${\displaystyle W_{1}\cup W_{2}\neq V}$. יהי ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in V}$ אזי אם:

1. אם ${\displaystyle w_{1}=w_{2}}$ או ${\displaystyle w_{1}\subset w_{2}}$ או ${\displaystyle w_{2}\subset w_{1}}$ אזי ${\displaystyle W_{1}=W_{2}\neq V}$ או ${\displaystyle w_{1}\subset w_{2}\neq V}$ או ${\displaystyle w_{2}\subset w_{1}\neq V}$
2. אם ${\displaystyle W_{1},W_{2}}$ קבוצות זרות אזי מתקיים ${\displaystyle w_{1}\in W_{1}\backslash W_{2},w_{2}\in W_{2}\backslash W_{1}}$.

נניח בשלילה כי ${\displaystyle w_{1}+w_{2}\in W_{1}}$ אז על פי סגירות לחיבור מתקיים: ${\displaystyle w_{1}+w_{2}\in W_{1}\Rightarrow (w_{1}+w_{2})-w_{1}=w_{2}\in W_{1}}$ בסתירה לכך ש־${\displaystyle w_{1}\in W_{1}\backslash W_{2}}$ על כן, ${\displaystyle w_{1}+w_{2}\subseteq W_{1}\cup W_{2}}$ ולכן ${\displaystyle W_{1}\cup W_{2}}$ אינו תת מרחב.

דוגמא נגדית: ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2},U_{1}={\text{span}}\{e_{1}\},U_{2}={\text{span}}\{e_{2}\}}$ אז האיחוד ${\displaystyle U_{1}\cup U_{2}}$ אינו סגור לחיבור כיוון ש־${\displaystyle e_{1}+e_{2}\notin U_{1}\cup U_{2}}$.