הגדרה 7.2: תת מרחב יהי ${\displaystyle V}$ מ"ו מעל ${\displaystyle \mathbb {F} }$. יהי ${\displaystyle U\neq \emptyset }$ קבוצה לא ריקה המקיים ${\displaystyle U\subseteq V}$. יהיה ${\displaystyle U}$ תת מרחב של ${\displaystyle V}$ (מסומן ${\displaystyle U\leq V}$) אם"ם: ${\displaystyle 0_{V}\in U}$ - אפס של ${\displaystyle V}$ נכלל בתת הקבוצה ${\displaystyle U}$. ${\displaystyle U}$ סגורה לחיבור כלומר ${\displaystyle \forall u,w\in U:u+w\in U}$ ${\displaystyle U}$ סגורה לכפל כלומר ${\displaystyle \forall u\in U\ \ \forall \alpha \in \mathbb {F} :\alpha u\in U}$ ובקיצור ${\displaystyle \forall u,v\in U,\alpha \in \mathbb {F} :(u+\alpha v)\in U}$

הוכחה: אם ${\displaystyle U}$ תת-שדה, התכונה הראשונה מתקיימת כי ${\displaystyle {\vec {0}}\in U}$ והשניה בגלל הסגירות. נוכיח את הכיוון השני:

תכונות החילוף, הפילוג, הקיבוץ והנייטרליות לכפל בסקלר נובעות במישרין מקיומן ב- ${\displaystyle V}$ . נוכיח ${\displaystyle {\vec {0}}\in U}$ , קיום נגדי, וסגירות לחיבור ולכפל בסקלר: יהי ${\displaystyle a\in U}$ (קיים כזה, כי ${\displaystyle U\neq \emptyset }$). ניקח ${\displaystyle u=v=a\ ,\ \alpha =-1}$, ונקבל ${\displaystyle {\vec {0}}=a+(-a)=u+\alpha v\in U}$ . אם ניקח ${\displaystyle u={\vec {0}}\ ,\ v=a\ ,\ \alpha =-1}$ נקבל ${\displaystyle -a=u+\alpha v\in U}$ . יהיו ${\displaystyle a,b\in U,\beta \in \mathbb {F} }$ . אם ניקח ${\displaystyle u=a\ ,\ v=b\ ,\ \alpha =1}$ נקבל ${\displaystyle a+b\in U}$ , ואם ניקח ${\displaystyle u={\vec {0}}\ ,\ \alpha =\beta \ ,\ v=a}$ נקבל ${\displaystyle \beta a\in U}$ לכן, ${\displaystyle U}$ מ"ו מעל ${\displaystyle \mathbb {F} }$ , והוא תת-מרחב של ${\displaystyle V}$ .

1. לכל ${\displaystyle \mathbb {F} }$ שדה ו-${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי, קיימת תת קבוצה, ${\displaystyle U=\left\{0\right\}}$ שהינו תת מרחב של ${\displaystyle V}$.
2. לכל ${\displaystyle \mathbb {F} }$ שדה ו-${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי קיימת תת הקבוצה ${\displaystyle U=V}$ שהינה תת מרחב של V.
3. לכל ${\displaystyle \mathbb {F} }$ והמרחב הווקטורי ${\displaystyle V=\mathbb {F} ^{n}}$, נוכל להגדיר תת קבוצה של ${\displaystyle V,U=\left\{\left(x_{1},...x_{n}\right)\in V\mid x_{i}=0\,\,\forall 1\leq i\leq n\right\}}$ . מפני שחיבור וכפל ב-${\displaystyle 0}$ נותנים סגירות עבור חיבור וכפל.
4. לכל ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ומרחב וקטורי של טורי חזקות פורמליים ${\displaystyle V=\mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]}$ נוכל להגדיר ${\displaystyle U=\mathbb {F} \left[x\right]}$ מפני ש ${\displaystyle U=\mathbb {F} \left[x\right]\subset \mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]=V}$ ולכן ${\displaystyle U\subset V}$.

תהי מטריצה ${\displaystyle A\in M_{m\times n}}$ עם מקדמים בשדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$. נתונים ${\displaystyle u,v\in \mathbb {F} ^{n}}$ (וקטורים), ו- ${\displaystyle c\in \mathbb {F} }$, סקלר, אז מתקיימות התכונות הבאות:

1. חוק הפילוג חל על כפל מטריצה בוקטורים: ${\displaystyle A\left(u+v\right)=Au+Av\in \mathbb {F} ^{m}}$.
2. חוק החילוף ${\displaystyle A\left(c\cdot u\right)=c\cdot \left(Au\right)\in \mathbb {F} ^{m}}$

אזי כאשר ${\displaystyle U=\left\{v\in \mathbb {F} ^{n}|Av=0\right\}}$ (קבוצת הפתרונות של מטריצה הומוגנית) הוא תמיד תת מרחב של ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ מפני ש:

1. ${\displaystyle 0\in U}$ .
2. ${\displaystyle u+v\in U}$ - יהי ${\displaystyle u,v\in U}$ אז ${\displaystyle Au=0}$ וגם ${\displaystyle Av=0}$ ומכאן ${\displaystyle A\left(u+v\right)=Au+Av=0+0=0}$.
3. ${\displaystyle cu\in U}$- יהי ${\displaystyle u\in U}$ ו-${\displaystyle c\in \mathbb {F} }$ אז ${\displaystyle Au=0}$ מכאן ${\displaystyle A\left(cu\right)=c\left(Au\right)=c\cdot 0=0}$.

1. תהי ${\displaystyle A=I_{n}}$ אז ${\displaystyle U=\left\{v\in \mathbb {F} ^{n}\mid I_{n}v=0\right\}=\left\{0\right\}}$ הוא תת מרחב
2. ${\displaystyle A=0}$ אז ${\displaystyle U=\left\{v\in \mathbb {F} ^{n}\mid 0v=0\right\}=\mathbb {F} ^{n}}$
3. יהי ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&\dots &1\end{bmatrix}}}$ אז ${\displaystyle U=\left\{v={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {F} ^{n}\mid {\begin{bmatrix}0&\dots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=0\right\}=\left\{{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {F} ^{n}\mid v_{n}=0\right\}}$ תת מרחב.

תרגיל 1: יהי ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ מ"ו מעל ${\displaystyle \mathbb {R} }$. האם ${\displaystyle S=\left\{\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{2}|\ xy=0\right\}}$ היא תת מרחב?
לא, אמנם ${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right]\in S}$ אך לא סגירות לחיבור. יהי ${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right]\in S}$ אבל אין סגירות לחיבור מפני אינו מקיים את תנאי הקבוצה כלומר ${\displaystyle xy=1*1\neq 0}$

תרגיל 2: יהי ${\displaystyle v=\mathbb {R} \left[x\right]}$. האם ${\displaystyle S=\left\{p(x)\in \mathbb {R} \left[x\right]|deg(p(x))\leq 2\land \ {\mbox{sum of p(x) is a rational number}}\right\}}$ תת מרחב?
לא, מפני שלא קיים סגירות לסקלר מפני ${\displaystyle {\sqrt {2}}=c\in \mathbb {F} }$מתקיים ש-${\displaystyle 1-x+x^{2}\in S}$ אבל ${\displaystyle 1-{\sqrt {2}}x+{\sqrt {2}}x^{2}\notin S}$ מפני סכום המקדמים אינו רציונלי