שיחלוף (באנגלית: transpose) של מטריצה כלשהי ${\displaystyle A\in \mathbb {F} ^{m\times n}}$ מסומן באופן הבא: ${\displaystyle A^{t}}$ או ${\displaystyle A^{T}}$ . מתקיים: ${\displaystyle A^{t}\in \mathbb {F} ^{n\times m}}$ (כלומר, הגודל של המטריצה התהפך) ו- ${\displaystyle [A^{t}]_{i,j}=[A]_{j,i}}$ . כלומר, האברים מחליפים במקום שלהם בשורה והעמודה. לדוגמה: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}^{t}={\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}}}$ . זאת אומרת צריך לכתוב את שורות A במאונך משמאל לימין וככה נקבל את המטריצה המשוחלפת.

הגדרה 4: המטריצה המשוחלפת כאשר ${\displaystyle A\in M_{m,n}(\mathbb {F} )}$, נסמן את המטריצה המשוחלפת שלה כ${\displaystyle A^{T}}$, וההגדרה שלה היא שכל איבר ${\displaystyle a_{i,j}}$ במטריצה הרגילה, יהפוך לאיבר ${\displaystyle a_{j,i}}$ במטריצה המשוחלפת, קל לראות שאם ${\displaystyle A}$ מסדר ${\displaystyle m\times n}$, אז ${\displaystyle A^{T}}$ מסדר ${\displaystyle n\times m}$. דוגמא: ניקח את המטריצה ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&4&5\\6&7&1\end{pmatrix}}}$, אזי ${\displaystyle A^{T}={\begin{pmatrix}3&6\\4&7\\5&1\end{pmatrix}}}$

יהי ${\displaystyle S=\left\{{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\right\}}$ ו-${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$. נדרג את ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&|&1&0&0\\2&|&0&1&0\\3&|&0&0&1\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}1&|&1&0&0\\0&|&-2&1&0\\0&|&-3&0&1\end{pmatrix}}}$ לכן ${\displaystyle span\left({\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\right)=\left\{{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\begin{cases}-2x_{1}+x_{2}=0\\-3x_{1}+x_{3}=0\end{cases}}\right\}}$

נמצא קבוצה פורשת של מטריצה משוחלפת: נכפיל ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=0\Rightarrow x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0}$

לאחר העברת אגפים${\displaystyle x_{1}=-2x_{2}-3x_{3}}$ נקבל ${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}-2t_{1}-3t_{2}\\t_{1}\\t_{2}\end{pmatrix}}\mid t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \right\}=span\left({\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}}\right).}$

נגדיר ${\displaystyle l_{1}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=-2x_{1}+2}$ ו-${\displaystyle l_{2}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=-3x_{1}+x_{3}}$

${\displaystyle \left(l_{1},l_{2}\right)}$ בסיס של ${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\right\}^{0}}$ דהיינו ${\displaystyle span\left({\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\right)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\begin{cases}l_{1}\left(x\right)=0\\l_{2}\left(x\right)=0\end{cases}}\right\}.}$.

• ${\displaystyle (A^{t})^{t}=A}$
• ${\displaystyle (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}}$
• ${\displaystyle (\alpha A)^{t}=\alpha (A^{t})}$

• ${\displaystyle {\mbox{tr}}(A^{t})={\mbox{tr}}(A)}$

• ${\displaystyle (AB)^{t}=B^{t}A^{t}}$

משפט 2: אם המכפלה ${\displaystyle AB}$ מוגדרת, אז מתקיים ${\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}$ הוכחה: ${\displaystyle \left[\left(AB\right)^{T}\right]_{ij}=\left[AB\right]_{ji}=\sum _{l=1}^{n}\ a_{jl}b_{li}=\sum \ _{l=1}^{n}\ b_{li}a_{jl}=\sum _{i=1}^{n}\ \left[B^{T}\right]_{il}\left[A^{T}\right]_{lj}=\left[B^{T}A^{T}\right]_{ij}}$

הגדרה 5: מטריצה סימטרית ואנטי סימטרית מטריצה ${\displaystyle A}$ תיקרא מטריצה סימטרית אם ${\displaystyle A^{T}=A}$, ומטריצה ${\displaystyle A}$ תחקרא מטריצה אנטי סימטרית אם ${\displaystyle A^{T}=-A}$