טענה 1: לכל מערכת משוואות הומוגנית קיים לפחות פתרון אחד

טענה 2: אם במערכת משוואות הומוגנית ${\displaystyle m<n}$ אז קבוצת הפתרונות היא אינסופית

כשמדרגים את המטריצה ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&|&0\end{bmatrix}}}$ נקבל את המטריצה ${\displaystyle {\begin{bmatrix}R&|&0\end{bmatrix}}}$ - כאשר ${\displaystyle R}$ מדורגת מצומצמת.

נתון כי מספר האיברים המובילים במטריצה ${\displaystyle R}$ קטן ממספר העמודות ${\displaystyle (m<n)}$,

אז ב-${\displaystyle R}$ יש עמודה בלי איבר מוביל, מכאן בקבוצת הפתרונות של המערכת יהיה לפחות פרמטר אחד ${\displaystyle (t\in \mathbb {R} )}$, ולכן קבוצת הפתרון אינסוף פתרונות

טענה 3: תהי מטריצה ${\displaystyle A\in M_{n\times n}}$ אז למערכת המשוואות ההומוגנית ${\displaystyle Ax=0}$ יהיה פתרון יחיד אמ"מ ${\displaystyle A}$ הפיכה

מכיוון ראשון, אם ${\displaystyle A}$ הפיכה אז קיים פתרון יחיד:

נתון ${\displaystyle A}$ הפיכה ולכן קיימת מטריצה ${\displaystyle B}$ הפוכה ל ${\displaystyle A}$.

אם ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, ווקטור, הוא פתרון של ${\displaystyle Ax=0}$, אז ${\displaystyle x=I_{n}x=\left(BA\right)x=B\left(Ax\right)=B\cdot 0=0}$

כלומר ${\displaystyle x=0}$ ולכן למערכת המשוואות, ${\displaystyle Ax=0}$ יש פתרון יחיד .

מכיוון שני, אם קיים פתרון יחיד אז הפיכה:

נניח בשלילה ש-${\displaystyle A}$ אינה הפיכה, ונגיע לסתירה:

נסמן ב-${\displaystyle R}$ מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבלת מ-${\displaystyle A}$ ע"י סדרה של פעולות שורה אלמנטריות.

${\displaystyle A}$ אינה הפיכה לכן ${\displaystyle R\neq I_{n}}$ ולכן השורה האחרונה של ${\displaystyle R}$ היא שורת אפסים.

קבוצות הפתרונות של מערכות המשוואות ${\displaystyle Ax=0}$ ו-${\displaystyle Rx=0}$ זהות.

לכן ל-${\displaystyle Rx=0}$ יש פתרון יחיד כפי שהוכחנו לעיל.

מצד שני, מאחר שבמטריצה ${\displaystyle R\neq I_{n}}$, יש ב-${\displaystyle R}$ עמודה ללא איבר מוביל,

בהצגה פרמטרית של ${\displaystyle Rx=0}$ צריך להיות לפחות פרמטר אחד, ולכן יש אינסוף פתרונות.

זוהי סתירה.