פעולת חיבור על שני וקטורים במרחב ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ מוגדרת ע"י: ${\displaystyle \left(x_{1},...,x_{n}\right)+\left(y_{1},...,y_{n}\right)=\left(x_{1}+y_{1},...,x_{n}+y_{n}\right)}$

פעולת כפל וקטור בסקלר במרחב ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ מוגדרת ע"י: ${\displaystyle k\cdot \left(x_{1},..,x_{n}\right)=\left(kx_{1},...,x_{n}\right)}$

הגדרת ווקטור היחידה במרחב ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$: ${\displaystyle e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}},e_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}},\dots ,e_{n}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\n\end{bmatrix}}}$ כאשר מספר האיברים בעמודת הווקטור נקבע על פי ה-${\displaystyle n}$ של המרחב.

לדוגמה ב-${\displaystyle R^{3}}$ ווקטור היחידה, ${\displaystyle e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}}$

כל מערכת משוואות ניתן להצגה על ידי קבוצות פתרונות שלה ${\displaystyle \left\{v_{0}+t_{1}v_{1}+...+t_{k}v_{k}|t_{1},..,t_{k}\in \mathbb {R} \right\}}$ כאשר הווקטורים ${\displaystyle v_{0},v_{1},...,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ולכן ניתן לייצג את מערכת המשוואות על ידי ווקטורים.

דוגמה: ${\displaystyle x_{1}-2x_{2}=1}$ אז נגדיר ${\displaystyle x_{2}=t}$ ונקבל את הייצוג הפרמטרי ${\displaystyle (1+2t,t)=(1,0)+(2,1)t}$

כל מערכת משוואות ניתנת להצגה כמטריצה: יהי מערכת המשוואות ${\displaystyle \left(x_{1},..,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$ אזי המטריצה ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}}$

תהי מטריצה ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$ אז ניתן לראות את המטריצה ${\displaystyle A}$ בגודל ${\displaystyle m\times n}$ כסדרה של ווקטורים ${\displaystyle (c_{1},c_{2},\dots ,c_{n})}$ ב-${\displaystyle R^{m}}$ כאשר ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} ^{m}}$

דוגמה: תהי המטריצה ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}}$ אז ניתן לייצגה כסדרה של וקטורים כאשר: ${\displaystyle c_{1}={\begin{bmatrix}1\\20\end{bmatrix}}c_{2}={\begin{bmatrix}9\\5\end{bmatrix}}c_{3}={\begin{bmatrix}-13\\-6\end{bmatrix}}}$ כלומר המטריצה מורכבת משלושה ווקטורים ב-${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

בשל תכונה זו נוכל לדבר על פעולות של חיבור וכפל מטריצות במרחב ${\displaystyle R^{n}}$.