ווקטורי בסיס יכולים להיות ב"צורתן המינמלית, דהינו בערכי ${\displaystyle I_{n}}$ של הבסיס או לחילופין, לפי ערכם של בסיסים אחרים ${\displaystyle {\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1\\0,\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}0\\5\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}$, ${\displaystyle {\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}$, ${\displaystyle {\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}12\\1,\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}$ ועוד .

מטריצת המעבר אומרת לנו בכמה סקלרים יש לכפול את הווקטורים שלנו מבסיס A בכדי לקבל את אותם הווקטורים בבסיס B.

במילים אחרות, מטריצת המעבר אומרת לנו את יחס הווקטור אל וקטור קואורדינטות.

יהיו ${\displaystyle B,C}$ בסיסים של מ"ו ${\displaystyle V}$ . נגדיר את מטריצת המעבר בין הבסיס ${\displaystyle B}$ לבסיס ${\displaystyle C}$ להיות ${\displaystyle [I]_{C}^{B}}$ כך שמתקיים לכל וקטור: ${\displaystyle [I]_{C}^{B}[v]_{B}=[v]_{C}}$ . כלומר, כפל המטריצה בוקטור הקואורדינאטות (ווקטור ההצגה) לפי בסיס ${\displaystyle B}$ , יתן את וקטור הקואורדינאטות (וקטור ההצגה) לפי בסיס ${\displaystyle C}$ .
טענה: אם ${\displaystyle B=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}}$ אז המטריצה ${\displaystyle [I]_{C}^{B}=([v_{1}]_{C},[v_{2}]_{C},\dots ,[v_{n}]_{C})}$ היא מטריצת המעבר בין ${\displaystyle B}$ ל- ${\displaystyle C}$ והיא גם המטריצה היחידה.

נהוג לסמן את מטריצת המעבר מבסיס ${\displaystyle B}$ לבסיס ${\displaystyle C}$ בסימון: ${\displaystyle \ M_{C}^{B}}$

מטריצת המעבר, אם כן, מבצעת את הפעולה: ${\displaystyle \ M_{C}^{B}*[v]_{B}=[v]_{C}}$

ובמילים, לוקחים ווקטור מבסיס ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle [v]_{B}}$ אל המטריצה שלנו (${\displaystyle M^{B}}$). מפעילים עליו את המטריצה שמעבירה אותו לבסיס ${\displaystyle C}$,${\displaystyle M_{C}}$ , ומקבלים את הווקטור בסיס ${\displaystyle C}$, [v]_C.

מהנוסחה ${\displaystyle \ M_{C}^{B}*[v]_{B}=[v]_{C}}$ ניתן להסיק את הנוסחה הכוללת: לכל שלושה בסיסים ${\displaystyle \ B,C,D}$ מתקיים ${\displaystyle \ M_{D}^{C}M_{C}^{B}=M_{D}^{B}}$