|
הגדרה 1: הרכבת העתקות
יהיו  מ"ו מעל  , ו  של בהתאמה.  ו ה"ל.
אז ![{\displaystyle [S\circ T]_{D}^{B}=[S]_{D}^{C}*[T]_{C}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95d331eb20e4e3da88132be268fdad3fe87abf0)
במילים אחרות, הכנסו אל ![{\displaystyle [T]_{C}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7774d598537ac098197187f9a800f8ee03ac7c1) ווקטור  וקבלנו ווקטור  . הכנסו אל ![{\displaystyle [S]_{D}^{C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248705e81955cbd54e5235e5f707a0adb7ada12d) את אותו ווקטור וקבלנו ווקטור בבסיס  .
הוכחה: העמודה ה של המטריצה ![{\displaystyle \left[T\circ S\right]_{D}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e5ccdfc5bb3ebbe2516a19fcbdf95f5136e86c) היא ![{\displaystyle \left[\left(T\circ S\right)u_{j}\right]_{D}=\left[T\left(S\left(u_{j}\right)\right)\right]_{D}=\left[T\right]_{D}^{C}\cdot \left[S\left(u_{j}\right)\right]_{C}=\left[T\right]_{D}^{C}\cdot \left(\left[S\right]_{C}^{B}\cdot \left[u_{j}\right]_{B}\right)=\left(\left[T\right]_{D}^{C}\cdot \left[S\right]_{C}^{B}\right)\cdot e_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1394750f0f8ee2922c1d4daed25052e97d0e21cc)
|
|
משפט 1: ![{\displaystyle \left[Id\right]_{D}^{B}=\left[Id\right]_{D}^{C}\cdot \left[Id\right]_{D}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb25e5050235cbd322a703132ce34314b571108)
|
נתונה הרכבה של העתקות: ![{\displaystyle \left[T\circ T\right]_{c}^{B}=\left[{\begin{matrix}2&2\\6&8\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b39b3627050b1636cded7d7ffa41147eda347b0)
וכן גם ![{\displaystyle \left[T\right]_{B}^{B}=\left[{\begin{matrix}4&-2\\2&-2\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f4410bc7cd861d6c4695bdd3bb0c026e89920b)
מצא את
![{\displaystyle [T]_{c}^{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/580835580438fd7a9466e16d9ab5605add6e749a)
וגם ![{\displaystyle [T]_{c}^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b896f0cafb8d91ac9509886c6eb3d9dd1c72f7bc)
נמצא את :
על פי הנוסחה נקבל: ![{\displaystyle [T\circ T]_{c}^{B}=[T]_{c}^{B}*[T]_{B}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a317d12fed875442613b714bdda7049609f540fa)
נציב את הנתונים:
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&2\\6&8\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a&c\\b&d\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}4&-2\\2&-2\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c3f56b92d5052b2bf3a99fb5e4434973dde388)
נפתור את מערכת המשוואות ונקבל :
נקבל
![{\displaystyle [T]_{c}^{b}=\left[{\begin{matrix}3&-5\\12&-20\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1a3cef0e8ffe41b67338934dee67eb5de7d2d2)
נמצא את :
על פי הנוסחה נקבל:
נוסיף מטריצות הפוכות זו לזו: ![{\displaystyle [T\circ T]_{c}^{B}=[T]_{b}^{c}*[T]_{c}^{c}*[T]_{c}^{b}*[T]_{B}^{B}=[T]_{c}^{c}*[T]_{C}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a1ecf1eb9ac91d1617a4e7ff12c8be950cc582)
באופן דומה לפתרון לעיל נציב את כל הנתונים ונמצא את :
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&2\\6&8\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a&c\\b&d\end{matrix}}\right][T]_{c}^{b}=\left[{\begin{matrix}3&-5\\12&-20\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fb144745b0c76b7c0e3c1e6d6617748ebc04a8)
![{\displaystyle \left[Id\right]_{C}^{B}\left[T\right]_{B}^{B}=\left[T\right]_{C}^{C}\left[Id\right]_{C}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/536a8fd6c0d4c40918072d9f68c4c0bbe6293b01)
![{\displaystyle \left(\left[Id\right]_{B}^{C}\right)^{-1}\left[T\right]_{B}^{B}\cdot \left[Id\right]_{B}^{C}=\left[T\right]_{C}^{C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bff256a21340df30435ed770da0c5171ed82209)
![{\displaystyle \left[T\right]_{C}^{C}\left[Id\right]_{C}^{B}=\left[T\circ Id\right]_{C}^{B}=\left[T\right]_{C}^{B}=\left[Id\circ T\right]_{C}^{B}=\left[Id\right]_{C}^{B}\left[T\right]_{B}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed2a75c4cbbe4e1c328445b5124c7624aa25a42)
![{\displaystyle \left[Id\right]_{C}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af18e42ce2bf5725e0cc268d37cb1f0492f32af2)
![{\displaystyle \left(\left[Id\right]_{B}^{C}\right)^{-1}\left[T\right]_{B}^{B}\left[Id\right]_{B}^{C}=\left[Id\right]_{C}^{B}\left[T\right]_{B}^{B}\left[Id\right]_{B}^{C}=\left[T\right]_{C}^{C}\left[Id\right]_{C}^{B}\left[Id\right]_{B}^{C}=\left[T\right]_{C}^{C}\cdot I_{n}=\left[T\right]_{C}^{C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5799af767e1ceac8a4a4224a73d1b606999d4b7b)