הגדרה 3: סכום וכפל בסקלר של מטריצות כאשר יש לנו מטריצה ${\displaystyle A\in M_{m,n}(\mathbb {F} )}$, וסקלר ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {F} }$, את כפל המטריצה ${\displaystyle A}$ בסקלר ${\displaystyle \lambda }$ נגדיר ככפל כל איבר במטריצה בסקלר הזה. דוגמא: ניקח את המטריצה ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&7\\5&4\end{pmatrix}}}$, ונכפול אותה בסקלר 2, נקבל ${\displaystyle 2\cdot {\begin{pmatrix}2&7\\5&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 2&2\cdot 7\\\ 2\cdot 5&2\cdot 4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&14\\\ 10&8\end{pmatrix}}}$.

תהי מטריצה ${\displaystyle A}$ בגודל ${\displaystyle m\times n}$ וגם הווקטור ${\displaystyle {\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}}$.

אז נייצג את הווקטור ${\displaystyle v={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}}$ ואת המטריצה ${\displaystyle A=(C_{1},\ldots ,C_{n})}$.

אז מכפלה של המטריצה בווקטור מוגדרת כפל וקטורים: ${\displaystyle A{\vec {v}}=v_{1}C_{1}+\cdots +v_{n}C_{n}\in \mathbb {R} ^{m}}$

דוגמא: ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}}\quad ,{\vec {v}}={\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}}}$

אז מכפלתם: ${\displaystyle A{\vec {v}}=3\cdot {\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}}+1\cdot {\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}}+0\cdot {\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\12\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8\\17\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}}$

תהי מטריצה ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$ בגודל ${\displaystyle m\times n}$ ו־${\displaystyle v={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}}$

אז ${\displaystyle A{\vec {v}}={\vec {w}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1}&=v_{1}a_{11}+v_{2}a_{12}+\cdots +v_{n}a_{1n}\\\vdots &\\w_{m}&=v_{1}a_{m1}+v_{2}a_{m2}+\cdots +v_{n}a_{mn}\end{aligned}}}$

כלומר אם ${\displaystyle C_{i}={\begin{bmatrix}a_{1i}\\\vdots \\a_{mi}\end{bmatrix}}}$ הוא טור ${\displaystyle i}$ ב־${\displaystyle A}$ אז ${\displaystyle Av=v_{1}C_{1}+\cdot +v_{n}C_{n}\in \mathbb {R} ^{m}}$.

ניתן לייצג באופן סכמתי בתור ${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}}$.

אם נתונה מערכת משוואות לינארית עם מטריצה מורחבת ${\displaystyle [A|b]}$ כאשר ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad {\vec {b}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}$

אז המערכת היא ${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}}}$

אז ניתן לרשום את המערכת בצורה ${\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}}$ כאשר ${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}}$ וקטור שרכיביו הם הנעלמים.

דוגמא: ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}}\quad ,{\vec {v}}={\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}}}$

אזי ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 3+5\cdot 1+3\cdot 0\\4\cdot 3+5\cdot 1+0\cdot 0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8\\17\end{bmatrix}}}$

1. ${\displaystyle A{\vec {e}}_{i}={\vec {c}}_{i}}$, למשל ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}}}$
2. יהי ${\displaystyle {\vec {v}}={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ אז ${\displaystyle I_{n}{\vec {v}}=v_{1}{\vec {e}}_{1}+\cdots +v_{n}{\vec {e}}_{n}={\vec {v}}}$. למשל ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}}$