אם ${\displaystyle |A|\leq |B|}$ וגם ${\displaystyle |A|\geq |B|}$ אזי ${\displaystyle |A|=|B|}$.

כלומר, אם קיימת פונקצייה חד-חד-ערכית מהקבוצה ${\displaystyle A}$ לקבוצה ${\displaystyle B}$ וקיימת פונקצייה חד-חד-ערכית מהקבוצה ${\displaystyle B}$ לקבוצה ${\displaystyle A}$, אזי קיימת פונקצייה שקילות (חד-חד-ערכית ועל) מהקבוצה ${\displaystyle A}$ לקבוצה ${\displaystyle B}$.

הוכחה זו מסתמכת על למת נקודת השבת.

לפי הנתון קיימות ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ו-${\displaystyle g\colon B\to A}$ שהינן חח"ע.

נגדיר פונקצייה חדשה ${\displaystyle F\colon P(A)\to P(A)}$ באופן הבא: ${\displaystyle F(X)=A\setminus g[B\setminus f[X]]}$.
נוכיח שהיא שומרת הכלה:
תהיינה ${\displaystyle X,Y\in P(A)}$ כך ש-${\displaystyle X\subseteq Y}$.
${\displaystyle f[X]\subseteq f[Y]}$, כי ${\displaystyle f}$ פונקציה.
${\displaystyle B\setminus f[X]\supseteq B\setminus f[Y]}$
${\displaystyle g[B\setminus f[X]]\supseteq g[B\setminus f[Y]]}$, כי ${\displaystyle g}$ פונקציה.
${\displaystyle F(X)=A\setminus g[B\setminus f[X]]\subseteq A\setminus g[B\setminus f[Y]]=F(Y)}$ כנדרש.

לפי למת נקודת השבת קיימת ${\displaystyle Z\in P(A)}$ עבורה ${\displaystyle Z=F(Z)=A\setminus g[B\setminus f[Z]]}$, ולכן מתקיים ${\displaystyle A\setminus Z=g[B\setminus f[Z]]}$.
מכאן נובע ש-${\displaystyle g\colon B\setminus f[Z]\to A\setminus Z}$ חח"ע ועל, ולכן קיימת ההופכית ${\displaystyle g^{-1}\colon A\setminus Z\to B\setminus f[Z]}$ שהינה חח"ע ועל גם כן.

כעת נוכל להגדיר את פונקציית השקילות ${\displaystyle \varphi \colon A\to B}$ באופן הבא:
${\displaystyle \varphi (a)={\begin{cases}f(a)&a\in Z\\g^{-1}(a)&a\in A\setminus Z\end{cases}}}$
נשים לב כי ${\displaystyle \varphi [Z]=f[Z]}$ וכמו כן ${\displaystyle \varphi [A\setminus Z]=g^{-1}[A\setminus Z]=B\setminus f[Z]}$, ולכן היא על: ${\displaystyle \varphi [A]=f[Z]\cup (B\setminus f[Z])=B}$.
בנוסף ${\displaystyle \varphi }$ חח"ע, כי הינה חח"ע בתחום ${\displaystyle Z}$ (כי ${\displaystyle f}$ חח"ע) ובתחום ${\displaystyle A\setminus Z}$ (כי ${\displaystyle g^{-1}}$ חח"ע), והטווחים של שני התחומים הללו זרים.
בסך הכל קיבלנו כי ${\displaystyle \varphi }$ הינה פונקציית שקילות כנדרש.