אם ${\displaystyle \mathbf {A} =\{A_{n}\}_{n\in \omega }}$ אוסף בן מניה של קבוצות סופיות או בנות מניה אז ${\displaystyle \bigcup \mathbf {A} =\bigcup _{n\in \omega }A_{n}}$ גם סופית או בת מניה.

מסקנות של משפט זה:

• עבור אוסף סופי הטענה גם נכונה, נשלים לאוסף בן מניה על-ידי הוספת קבוצות ריקות.
• עוצמת קבוצת המספרים האלגבריים הנה בת מניה, ובפרט ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ בת מניה.
• אם ${\displaystyle A}$ ו- ${\displaystyle B}$ סופיות או בנות מניה אז גם ${\displaystyle A\times B}$ סופית או בת מניה.

נגדיר ${\displaystyle B_{0}=A_{0}}$ ולכל ${\displaystyle n\in \omega }$ נגדיר ${\displaystyle B_{n}=A_{n}\setminus \bigcup _{k<n}B_{k}}$ .

מובן כי הקבוצות החדשות הנן עדיין סופיות או בנות מניה, זרות בזוגות, וכי מתקיים ${\displaystyle \bigcup _{n\in \omega }B_{n}=\bigcup \mathbf {A} }$ לפי הבניה.

לכן לכל ${\displaystyle n\in \omega }$ , לפי ההגדרה, קיימת פונקצייה חח"ע ${\displaystyle \varphi _{n}\colon B_{n}\to \omega }$ .

לכל ${\displaystyle n\in \omega }$ נגדיר ${\displaystyle p_{n}}$ כראשוני ה- ${\displaystyle n}$ הקטן ביותר (כלומר ${\displaystyle p_{0}=2,p_{1}=3,p_{2}=5,\dots }$).

נגדיר פונקצייה חדשה ${\displaystyle \varphi \colon \bigcup \mathbf {A} \to \omega }$ באופן הבא:

לכל ${\displaystyle a\in \bigcup \mathbf {A} }$ מתקיים ${\displaystyle a\in B_{n}}$ עבור ${\displaystyle n\in \omega }$ כלשהו, נגדיר: ${\displaystyle \varphi (a)=p_{n}^{\varphi _{n}(a)+1}}$ .

${\displaystyle \varphi }$ הנה בברור חח"ע, ולכן ${\displaystyle \bigcup \mathbf {A} }$ סופית או בת מניה גם כן.