${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ הוא מספר שלם או אי־רציונלי לכל ${\displaystyle a,n\in \mathbb {N} _{>1}}$ .

הוכחה

נניח בשלילה כי ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}={\frac {b}{c}}}$ עבור מספרים זרים ${\displaystyle b,c\in \mathbb {N} _{>1}}$ (שמחלקם המשותף המקסימלי הוא 1).

${\displaystyle {\begin{aligned}a=\left({\frac {b}{c}}\right)^{n}={\frac {b^{n}}{c^{n}}}\\ac^{n}=b^{n}\end{aligned}}}$

לפי המשפט היסודי קיים מספר ראשוני ${\displaystyle p}$ עבורו ${\displaystyle p|c^{n}}$ .

לפי הלמה של אוקלידס אם ראשוני מחלק מכפלה, בהכרח הוא מחלק לפחות אחד מגורמיה. לפיכך

${\displaystyle p|c^{n}\implies p|c\implies p|ac^{n}\implies p|b^{n}\implies p|b}$

קיבלנו ${\displaystyle p|b}$ וגם ${\displaystyle p|c}$ אף כי הנחנו תחילה שהם זרים. סתירה.

${\displaystyle \blacksquare }$