המספר ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ אינו רציונלי, כלומר ${\displaystyle {\sqrt {2}}\not \in \mathbb {Q} }$ .

לשם כך ניעזר בלֶמה (משפט עזר):

הוכחת הלמה:
מכפלת מספר זוגי במספר זוגי היא זוגית, בעוד שמכפלת מספר אי־זוגי במספר אי־זוגי היא אי־זוגית, ולכן אם מכפלת מספר בעצמו היא זוגית – המספר זוגי, ולהפך.

נניח בשלילה כי ${\displaystyle {\sqrt {2}}\in \mathbb {Q} }$ , כלומר רציונלי. לכן ניתן לכתוב ${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}}$ עבור ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ שלמים זרים כלשהם.

נעלה כעת את הביטוי בריבוע ונקבל

${\displaystyle {\begin{aligned}2=\left({\dfrac {m}{n}}\right)^{2}={\dfrac {m^{2}}{n^{2}}}\\2n^{2}=m^{2}\end{aligned}}}$

לכן לפי הלמה הנ"ל נוכל לכתוב ${\displaystyle m=2p}$ עבור ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ . מכאן

${\displaystyle {\begin{matrix}2n^{2}=(2p)^{2}\\2n^{2}=4p^{2}\\n^{2}=2p^{2}\end{matrix}}}$

לכן לפי הלמה הנ"ל נוכל גם לכתוב ${\displaystyle n=2q}$ עבור ${\displaystyle q\in \mathbb {Z} }$ . מכאן

${\displaystyle {\begin{matrix}(2q)^{2}=2p^{2}\\4q^{2}=2p^{2}\\2q^{2}=p^{2}\end{matrix}}}$

מכאן ${\displaystyle m,n}$ זוגיים בניגוד להנחה הראשונה כי שניהם זרים. סתירה!

לכן ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ אינו מספר רציונלי.

${\displaystyle \blacksquare }$