לכל ${\displaystyle y>0}$ ולכל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ קיים ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ עבורו ${\displaystyle x^{n}=y}$.

נגדיר קבוצה ${\displaystyle A={\Big \{}r\in \mathbb {R} :r\geq 0,r^{n}<y{\Big \}}}$.

זו קבוצה לא־ריקה (כי ${\displaystyle 0\in A}$) וחסומה מלמעלה על־ידי ${\displaystyle y+1}$ (כי לכל ${\displaystyle r>y+1}$ מתקיים ${\displaystyle r^{n}>r>y}$).

לכן על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשים יש לה חסם עליון ${\displaystyle x}$. כעת נוכיח כי ${\displaystyle x^{n}=y}$.

• נניח בשלילה כי ${\displaystyle x^{n}<y}$.

די למצוא ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$ עבורו ${\displaystyle (x+\varepsilon )^{n}<y}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+\varepsilon )^{n}&=\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\varepsilon ^{k}\\&=x^{n}+\sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\varepsilon ^{k}\\&\leq x^{n}+\sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\varepsilon \qquad :\varepsilon ^{k}\leq \varepsilon \\&=x^{n}+\varepsilon \sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\\&=x^{n}+\varepsilon \left(\,\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}-x^{n}\right)\\&=x^{n}+\varepsilon {\bigl [}(x+1)^{n}-x^{n}{\bigr ]}<y\\\varepsilon &<\min \left\{1,{\frac {y-x^{n}}{(x+1)^{n}-x^{n}}}\right\}\end{aligned}}}$

כלומר ${\displaystyle x+\varepsilon \in A}$, אבל ${\displaystyle x<x+\varepsilon }$ ולכן ${\displaystyle x+\varepsilon \notin A}$. סתירה.

• נניח בשלילה כי ${\displaystyle x^{n}>y}$.

כ.נ.ל די למצוא ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$ עבורו ${\displaystyle (x-\varepsilon )^{n}>y}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-\varepsilon )^{n}&=\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}(-\varepsilon )^{k}\\&=x^{n}+\sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}(-\varepsilon )^{k}\\&\geq x^{n}+\sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}(-\varepsilon )\qquad :(-\varepsilon )^{k}\geq -\varepsilon \\&=x^{n}-\varepsilon \sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\\&=x^{n}-\varepsilon \left(\,\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}-x^{n}\right)\\&=x^{n}-\varepsilon {\bigl [}(x+1)^{n}-x^{n}{\bigr ]}>y\\\varepsilon &<\min \left\{1,{\frac {x^{n}-y}{(x+1)^{n}-x^{n}}}\right\}\end{aligned}}}$

כלומר ${\displaystyle x-\varepsilon \notin A}$, אבל ${\displaystyle x-\varepsilon <x}$ ולכן ${\displaystyle x-\varepsilon \in A}$. סתירה.

לכן ${\displaystyle x^{n}=y}$.

${\displaystyle \blacksquare }$