תהי ${\displaystyle (A_{1},\ldots ,A_{n})}$ n־יה סדורה. נגדיר:

${\displaystyle {\vec {A}}{}^{n}=(A_{1},\ldots ,A_{n})}$

עבור פונקציות ${\displaystyle {\vec {F}}{}^{m},{\vec {G}}{}^{n}}$ נגדיר:

${\displaystyle {\vec {F}}{}^{m}({\vec {G}}{}^{n})={\bigl (}F_{1}(G_{1},\ldots ,G_{n}),\ldots ,F_{m}(G_{1},\ldots ,G_{n}){\bigr )}}$

סימון מקוצר זה ישמש אותנו רבות בעמודים הבאים ובהוכחה.

יהי ${\displaystyle \mathbb {F} }$ שדה. אזי ${\displaystyle \mathbb {F} [{\vec {X}}{}^{n}]}$ הוא מרחב הפולינומים במשתנים ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ עם מקדמים ב־${\displaystyle \mathbb {F} }$.

מונום (חד־אבר) הוא פולינום מן הצורה ${\displaystyle c\,X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}}$, כאשר ${\displaystyle c\in \mathbb {F} }$ וכן ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {N} }$.

יהי ${\displaystyle X=X_{1}\!\cdots X_{n}}$, ויהי ${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ וקטור מעריכים. נגדיר:

• ${\displaystyle X^{a}=X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}}$
• ${\displaystyle \deg(X^{a})=a_{1}\!+\cdots +a_{n}}$
• מעלת פולינום (שאינו פולינום האפס) שוה למקסימלית מבין מעלות המונומים המרכיבים אותו.

מכפלת מונומים מקיימת חיבור וקטורי מעריכים:

${\displaystyle {\begin{aligned}X^{a}\!\cdot X^{b}&=(X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}})\cdot (X_{1}^{b_{1}}\!\cdots X_{n}^{b_{n}})\\[5pt]&=(X_{1}^{a_{1}}\!\cdot X_{1}^{b_{1}})\cdots (X_{n}^{a_{n}}\!\cdot X_{n}^{b_{n}})\\[5pt]&=X_{1}^{a_{1}+b_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}+b_{n}}\\[5pt]&=X^{a+b}\end{aligned}}}$

יהיו ${\displaystyle X^{a},X^{b}}$ מונומים.

נאמר כי ${\displaystyle X^{a}}$ בעל סדר קטן מ־${\displaystyle X^{b}}$ (ונסמן ${\displaystyle X^{a}\!\prec X^{b}}$) אם קיים אינדקס ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ עבורו מתקיים

${\displaystyle {\begin{cases}a_{i}=b_{i}&:\!1\leq i\leq k-1\\[3pt]a_{i}<b_{i}&:i=k\end{cases}}}$

במלים אחרות, בין שני הוקטורים ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n}),(b_{1},\ldots ,b_{n})}$ קיים יחס סדר מילוני.

למונום בעל בעל הסדר המקסימלי בפולינום ${\displaystyle F}$ נקרא המונום המוביל, ונסמנו ${\displaystyle {\text{L}}(F)}$.

${\displaystyle x_{1}^{7}x_{2}^{3}x_{3}^{10}\!\prec x_{1}^{7}x_{2}^{31}x_{3}\iff (7,3,10)\prec (7,31,1)}$

יהיו ${\displaystyle F,G\in \mathbb {F} [{\vec {X}}{}^{n}]}$ פולינומים. אזי מתקיים ${\displaystyle {\text{L}}(F\cdot G)={\text{L}}(F)\cdot {\text{L}}(G)}$.

יהיו ${\displaystyle X^{a},X^{b},X^{f},X^{g}}$ מונומים, כאשר ${\displaystyle X^{f}={\text{L}}(F),\,X^{g}={\text{L}}(G)}$.

1. נניח כי ${\displaystyle X^{a}\!\prec X^{f}}$. נראה כי מתקיים ${\displaystyle X^{a+c}\!\prec X^{f+c}}$ לכל ${\displaystyle X^{c}}$.
מן ההגדרה, קיים אינדקס ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ עבורו מתקיים

${\displaystyle {\begin{cases}a_{i}(+\,c_{i})=f_{i}(+\,c_{i})&:\!1\leq i\leq k-1\\[3pt]a_{i}(+\,c_{i})<f_{i}(+\,c_{i})&:i=k\end{cases}}}$

2. נניח כי גם ${\displaystyle X^{b}\prec X^{g}}$. נראה כי מתקיים ${\displaystyle X^{a+b}\!\prec X^{f+g}}$.
מן ההגדרה, קיימים אינדקסים ${\displaystyle k_{1},k_{2}\in \{1,\ldots ,n\}}$ עבורם מתקיים בהתאמה

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{cases}a_{i}=f_{i}&:\!1\leq i\leq k_{1}-1\\[3pt]a_{i}<f_{i}&:i=k_{1}\end{cases}},\quad {\begin{cases}b_{i}=g_{i}&:\!1\leq i\leq k_{2}-1\\[3pt]b_{i}<g_{i}&:i=k_{2}\end{cases}}\\[8pt]&{\begin{cases}1\leq k_{1}\leq k_{2}\leq n\!:&(a_{k_{1}}\!<f_{k_{1}}\!)\land (b_{k_{1}}\!\leq g_{k_{1}}\!)\,\implies \,a_{k_{1}}\!+b_{k_{1}}\!<f_{k_{1}}\!+g_{k_{1}}\\[5pt]1\leq k_{2}<k_{1}\leq n\!:&(a_{k_{2}}\!=f_{k_{2}}\!)\land (b_{k_{2}}\!<g_{k_{2}}\!)\,\implies \,a_{k_{2}}\!+b_{k_{2}}\!<f_{k_{2}}\!+g_{k_{2}}\end{cases}}\!{\Bigg \}}\,\implies \,X^{a+b}\!\prec X^{f+g}\end{aligned}}}$

כלומר:

${\displaystyle {\text{L}}(F\cdot G)=X^{f+g}=X^{f}\cdot X^{g}={\text{L}}(F)\cdot {\text{L}}(G)}$

${\displaystyle \square }$

יהי ${\displaystyle F\in \mathbb {F} [{\vec {X}}{}^{n}]}$ פולינום. נגדיר:

${\displaystyle {\text{D}}(F)={\Big \{}X^{a}\!\in \mathbb {F} [{\vec {X}}{}^{n}]:\deg(X^{a})\leq \deg({\text{L}}(F)),X^{a}\!\prec {\text{L}}(F){\Big \}}}$

כלומר, קבוצת כל המונומים המתוקנים ממעלה ${\displaystyle \deg({\text{L}}(F))\geq }$ ובעלי סדר קטן מזה של ${\displaystyle {\text{L}}(F)}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}&F(x_{1},x_{2})=4+3x_{1}+2x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{4}\\[3pt]&{\text{L}}(F)=2x_{1}^{2}x_{2}\\[3pt]&{\text{D}}(F)={\Big \{}x_{1}x_{2}^{2},x_{1}^{2},x_{1}x_{2},x_{2}^{2},x_{1},x_{2},1{\Big \}}\end{aligned}}}$

הפרק הקודם: הקדמה

סידור מונומי תרגילים

הפרק הבא: פולינומים סימטריים