הקבוע המתמטי ${\displaystyle \pi =3.141592\ldots }$ הוא מספר טרנסצנדנטי (או אי־אלגברי).

לאמר, הוא איננו שורש של אף פולינום בעל מקדמים רציונליים.

נניח בשלילה כי ${\displaystyle \pi }$ אלגברי. לכן קיים פולינום

${\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{d}z^{d}\in \mathbb {Q} [z]}$

עבורו ${\displaystyle P(\pi )=0}$.

למה: אם ${\displaystyle \pi }$ אלגברי, אזי ${\displaystyle \pi i}$ אלגברי.

הוכחה: מתקיים כי

${\displaystyle {\begin{aligned}P(\pm iz)&=a_{0}+a_{1}(\pm iz)+a_{2}(\pm iz)^{2}+\cdots +a_{d}(\pm iz)^{d}\\[5pt]&=(a_{0}-a_{2}z^{2}+\cdots \,)\pm (a_{1}z-a_{3}z^{3}+\cdots \,)\,i\end{aligned}}}$

לכן ${\displaystyle \pi i}$ שורש של הפולינום

${\displaystyle P(iz)P(-iz)=(a_{0}-a_{2}z^{2}+\cdots \,)^{2}+(a_{1}z-a_{3}z^{3}+\cdots \,)^{2}\in \mathbb {Q} [z]}$

${\displaystyle \square }$

לפיכך, קיים פולינום ${\displaystyle P_{1}\in \mathbb {Q} [z]}$ ממעלה ${\displaystyle n}$ בעל השורשים ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$, כאשר ${\displaystyle z_{1}=\pi i}$.

על־פי זהות אוילר מתקיים כי ${\displaystyle {\text{e}}^{\pi i}+1=0}$. לכן:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\,=\,(1+{\text{e}}^{z_{1}}\!)\cdots (1+{\text{e}}^{z_{n}}\!)\\[7pt]&\,=\,1\,+\,\sum _{1\leq i\leq n}\!{\text{e}}^{z_{i}}\,+\!\!\!\sum _{1\leq i_{1}~\!\!<i_{2}\leq n}\!\!\!\!\!{\text{e}}^{z_{i_{1}}}{\text{e}}^{z_{i_{2}}}\,+\!\!\!\!\!\!\!\sum _{1\leq i_{1}~\!\!<i_{2}~\!\!<i_{3}\leq n}\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{e}}^{z_{i_{1}}}{\text{e}}^{z_{i_{2}}}{\text{e}}^{z_{i_{3}}}+\,\cdots \,+\!\!\!\!\!\!\!\!\sum _{1\leq i_{1}~\!\!<\cdots <i_{n}\leq n}\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{e}}^{z_{i_{1}}}\!\cdots {\text{e}}^{z_{i_{n}}}\\[5pt]&\,=\,{\text{e}}^{0}+\sum _{1\leq i\leq n}\!{\text{e}}^{z_{i}}\,+\!\!\!\sum _{1\leq i_{1}~\!\!<i_{2}\leq n}\!\!\!\!\!{\text{e}}^{z_{i_{1}}+\,z_{i_{2}}}\,+\!\!\!\!\!\!\!\sum _{1\leq i_{1}~\!\!<i_{2}~\!\!<i_{3}\leq n}\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{e}}^{z_{i_{1}}+\,z_{i_{2}}+\,z_{i_{3}}}+\,\cdots \,+\,{\text{e}}^{z_{1}+\,\cdots \,+\,z_{n}}\\&\,=\,\sum _{i\,=\,1}^{2^{n}}{\text{e}}^{\beta _{i}}\end{aligned}}}$

המעריכים הם פולינומים סימטריים לפי ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$, ומביניהם ${\displaystyle n\leq m\leq 2^{n}-1}$ סכומים שונים מ־0. כלומר:

${\displaystyle {\text{e}}^{\beta _{1}}\!+\cdots +{\text{e}}^{\beta _{m}}\!+2^{n}\!-m=0}$

על פי תוצאת המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים:
לכל ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ קיים פולינום מתוקן ${\displaystyle P_{k}\in \mathbb {Q} [z]}$ אשר שורשיו הם סכומי כל ${\displaystyle k}$ מבין השורשים ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$. לפיכך:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(z)&=P_{0}(z)\,P_{1}(z)\cdots P_{n}(z)\in \mathbb {Q} [z]\\[5pt]&=(z-\beta _{1})\cdots (z-\beta _{m})\cdots (z-\beta _{2^{n}})\\[5pt]&=z^{2^{n}-\,m}(z-\beta _{1})\cdots (z-\beta _{m})\end{aligned}}}$

לאחר צמצום נקבל כי:

${\displaystyle (z-\beta _{1})\cdots (z-\beta _{m})\in \mathbb {Q} [z]}$

נכפיל במכנה המשותף המינימלי ${\displaystyle b_{m}\!\in \mathbb {Z} }$ של המקדמים הרציונליים, ונקבל פולינום מהצורה

${\displaystyle {\begin{aligned}B(z)&\,=\,b_{m}(z-\beta _{1})\cdots (z-\beta _{m})\in \mathbb {Z} [z]\\[5pt]&\,=\,b_{0}\!+b_{1}z+\cdots +b_{m-1}z^{m-1}\!+b_{m}z^{m}\end{aligned}}}$

יהי ${\displaystyle f(z)}$ פולינום ממעלה ${\displaystyle d}$. נגדיר:

${\displaystyle F(z)=\sum _{k\,=\,0}^{d}f^{^{\mathtt {(k)}}}\!\!(z)}$

נגזור ונקבל כי:

${\displaystyle F'\!(z)=\sum _{k\,=\,0}^{d}f^{^{\mathtt {(k+1)}}}\!\!(z)=\sum _{k\,=\,1}^{d}f^{^{\mathtt {(k)}}}\!\!(z)=F(z)-f(z)}$

נגדיר ${\displaystyle G(z)={\text{e}}^{-z}F(z)}$. נגזור ונקבל כי:

${\displaystyle {\begin{aligned}G'\!(z)&={\text{e}}^{-z}F'\!(z)-{\text{e}}^{-z}F(z)\\[5pt]&={\text{e}}^{-z}{\bigl [}F'\!(z)-F(z){\bigr ]}\\[5pt]&=-{\text{e}}^{-z}f(z)\end{aligned}}}$

על־פי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, מתקיים כי:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(z)-G(0)\,=\,{\text{e}}^{-z}F(z)-{\text{e}}^{-0}F(0)&\,=\,-\!\int \limits _{0}^{z}{\text{e}}^{-w}f(w)dw\\F(z)-{\text{e}}^{z}F(0)&\,=\,-\!\int \limits _{0}^{z}{\text{e}}^{z-w}f(w)dw\end{aligned}}}$

נסמן:

${\displaystyle A_{i}=\,F(\beta _{i}~\!\!)-{\text{e}}^{\beta _{i}}F(0)\,=\,-\,\!\!\int \limits _{0}^{\beta _{i}}~\!\!{\text{e}}^{\beta _{i}-w}f(w)dw}$

נסכום ונקבל כי:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i\,=\,1}^{m}A_{i}&=\,\sum _{i\,=\,1}^{m}F(\beta _{i}~\!\!)\,-\,\sum _{i\,=\,1}^{m}{\text{e}}^{\beta _{i}}F(0)\\[3pt]\sum _{i\,=\,1}^{m}A_{i}&=\,\sum _{i\,=\,1}^{m}F(\beta _{i}~\!\!)\,-\,F(0)\sum _{i\,=\,1}^{m}{\text{e}}^{\beta _{i}}\\[3pt]&=\,(2^{n}\!-m)~\!F(0)\,+\,\sum _{i\,=\,1}^{m}F(\beta _{i}~\!\!)\end{aligned}}}$

למה: יהי ${\displaystyle f(z)}$ פולינום בעל שורש ${\displaystyle z_{0}}$ מריבוי ${\displaystyle p\geq 1}$. אזי ${\displaystyle f^{^{\mathtt {(k)}}}\!\!(z_{0}~\!\!)=0}$ לכל ${\displaystyle 0\leq k\leq p-1}$.

הוכחה: באינדוקציה שלמה.

נרשום ${\displaystyle f(z)=(z-z_{0}~\!\!)^{p}Q(z)}$, כאשר ${\displaystyle Q(z)}$ פולינום עבורו ${\displaystyle Q(z_{0}~\!\!)\neq 0}$.

עבור ${\displaystyle p=1}$ מתקיים:

${\displaystyle f^{^{\mathtt {(0)}}}\!\!(z_{0}~\!\!)=f(z_{0}~\!\!)=0}$

נניח כי לכל ${\displaystyle 1\leq p\leq d}$ הטענה מתקיימת לכל ${\displaystyle 0\leq k\leq d-1}$.
נוכיח כי עבור ${\displaystyle p=d+1}$ הטענה מתקיימת לכל ${\displaystyle 0\leq k\leq d}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=(z-z_{0}~\!\!)^{p+1}Q(z){\color {white}\sum }\\[4pt]f^{^{\mathtt {(1)}}}\!\!(z)&=(p+1)(z-z_{0}~\!\!)^{p}Q(z)+(z-z_{0}~\!\!)^{p+1}Q^{^{\mathtt {(1)}}}\!\!(z)\\[5pt]&={\color {blue}(z-z_{0}~\!\!)^{p}}{\color {red}{\bigl [}\,(p+1)Q(z)+(z-z_{0}~\!\!)Q^{^{\mathtt {(1)}}}\!\!(z)\,{\bigr ]}}\\[5pt]&={\color {blue}(z-z_{0}~\!\!)^{p}}{\color {red}R(z)}\end{aligned}}}$

הביטוי הכחול מריבוי ${\displaystyle p\geq 1}$, כאשר ${\displaystyle R(z)}$ פולינום עבורו ${\displaystyle R(z_{0}~\!\!)\neq 0}$.
לכן מכפלתם מקיימת את הנחת האינדוקציה.

${\displaystyle \square }$

עתה נגדיר:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\frac {(b_{m}~\!\!)^{q}}{(p-1)!}}\,z^{~\!p-1}{\bigl [}B(z){\bigr ]}^{p}\\[5pt]&=\!\!\sum _{i\,=\,p-1}^{p\,+\,q}\!{\frac {{\text{c}}_{i}}{(p-1)!}}\,z^{~\!i}\quad {\begin{aligned}&:\!{\text{c}}_{i}\!\in \mathbb {Z} \\[2pt]&:\!q=mp-1\end{aligned}}\end{aligned}}}$

כאשר ${\displaystyle p}$ מספר ראשוני.
מתקיים כי

${\displaystyle f^{^{\mathtt {(k)}}}\!\!(z)=\sum _{i\,=\,k}^{p\,+\,q}{\frac {k!}{(p-1)!}}{\binom {i}{k}}{\text{c}}_{i}z^{~\!i-k}\quad :\!0\leq k\leq p+q}$

הערות:

• מקדמי ${\displaystyle f^{^{\mathtt {(p-1)}}}\!\!(z)}$ הם מספרים שלמים המתחלקים כולם ב־${\displaystyle (b_{m}~\!\!)^{q}}$.
• עבור ${\displaystyle p\leq k\leq p+q}$, מקדמי ${\displaystyle f^{^{\mathtt {(k)}}}\!\!(z)}$ הם מספרים שלמים המתחלקים כולם ב־${\displaystyle (b_{m}~\!\!)^{q}}$ וב־${\displaystyle p}$.

לפי חלקים א ו־ג, מתקיים כי:

${\displaystyle {\begin{aligned}N&\,=\,(2^{n}\!-m)~\!F(0)\,+\,\sum _{i\,=\,1}^{m}F(\beta _{i}~\!\!)\\[2pt]&\,=\,(2^{n}\!-m)\sum _{k\,=\,0}^{p\,+\,q}f^{^{\mathtt {(k)}}}\!\!(0)\,+\,\sum _{i\,=\,1}^{m}\sum _{k\,=\,0}^{p\,+\,q}f^{^{\mathtt {(k)}}}\!\!(\beta _{i}~\!\!)\\[2pt]&\,=\,(2^{n}\!-m)\!\!\sum _{k\,=\,p-1}^{p\,+\,q}\!\!\!f^{^{\mathtt {(k)}}}\!\!(0)\,+\,\sum _{i\,=\,1}^{m}\sum _{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^{\mathtt {(k)}}}\!\!(\beta _{i}~\!\!)\\[2pt]&\,=\,(2^{n}\!-m)\,{\bigg [}\,f^{^{\mathtt {(p-1)}}}\!\!(0)\,+\,\sum _{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^{\mathtt {(k)}}}\!\!(0)\,{\bigg ]}\,+\,\sum _{k\,=\,p}^{p\,+\,q}\sum _{i\,=\,1}^{m}f^{^{\mathtt {(k)}}}\!\!(\beta _{i}~\!\!)\\[2pt]&~=\,{\color {red}(2^{n}\!-m)~\!(b_{0}~\!\!)^{p}(b_{m}~\!\!)^{q}}\!+{\color {green}(2^{n}\!-m)\sum _{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^{\mathtt {(k)}}}\!\!(0)}\,+\,{\color {blue}\sum _{k\,=\,p}^{p\,+\,q}\sum _{i\,=\,1}^{m}f^{^{\mathtt {(k)}}}\!\!(\beta _{i}~\!\!)}\end{aligned}}}$

עתה נבחר מספר ראשוני ${\displaystyle p>\max \!{\bigl \{}2^{n}\!-m,\!|b_{0}~\!\!|,\!|b_{m}~\!\!|{\bigr \}}}$. נקבל:

הביטוי האדום הוא מספר שלם שאינו מתחלק ב־${\displaystyle p}$.
הביטוי הירוק הוא מספר שלם המתחלק ב־${\displaystyle p}$.
הביטוי הכחול הוא החלק החשוב ביותר:
על־פי נוסחאות ויאטה מתקיים כי

${\displaystyle E_{\mathtt {k}}({\vec {\beta }}{}^{^{~\!m}}~\!\!)=(-1)^{k}{\frac {b_{m-k}}{\,b_{m}}}\in \mathbb {Q} \quad :\!1\leq k\leq m}$

והסכומים הכחולים הם פולינומים סימטריים לפי ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{m}}$.
על פי המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים, סכומים אלה ניתנים להצגה כפולינומים

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i\,=\,1}^{m}f^{^{\mathtt {(k)}}}\!\!(\beta _{i}~\!\!)&\,=\,G_{\mathtt {k}}{\bigl (}{\vec {E}}{}^{^{~\!m}}\!({\vec {\beta }}{}^{^{~\!m}}~\!\!){\bigr )}\in \mathbb {Z} {\bigl [}{\vec {\beta }}{}^{^{~\!m}}~\!\!{\bigr ]}\\&~=\,{\color {DeepSkyBlue}(b_{m}~\!\!)^{q}{\frac {c_{_{~\!{\mathtt {k}}}}}{(b_{m}~\!\!)^{q_{\kappa }}}}}\quad {\begin{aligned}&:\!c_{_{~\!{\mathtt {k}}}}\!\in \mathbb {Z} \\&:\!q_{_{~\!{\mathtt {k}}}}\!\in \mathbb {N} \end{aligned}}\end{aligned}}}$

כאשר:

• ${\displaystyle 0\leq q_{_{~\!{\mathtt {k}}}}~\!\!\!=\deg(G_{\mathtt {k}}~\!\!)\leq \deg(f^{^{\mathtt {(k)}}}\!)\leq q\quad :\!p\leq k\leq p+q}$

לכן ${\displaystyle (b_{m}~\!\!)^{q_{\kappa }}\!}$ מחלק את ${\displaystyle (b_{m}~\!\!)^{q}}$, והביטוי התכול הוא מספר שלם.

לכן הביטוי הכחול גם הוא מספר שלם אשר מתחלק ב־${\displaystyle p}$.

מסקנה: ${\displaystyle N}$ הוא מספר שלם אשר איננו מתחלק ב־${\displaystyle p}$, ובפרט ${\displaystyle N\neq 0}$. לאמר ${\displaystyle 1\leq |N|\in \mathbb {N} }$.

לפי חלק ב, על־פי אי־שוויון המשולש האינטגרלי מתקיים כי:

${\displaystyle {\begin{aligned}|A_{i}~\!\!|&\,=\,{\Bigg |}\int \limits _{0}^{\beta _{i}}\!{\text{e}}^{\beta _{i}-w}f(w)dw\,{\Bigg |}\\[2pt]&\,\leq \,\int \limits _{0}^{\beta _{i}}{\bigl |}~\!{\text{e}}^{\beta _{i}-w}{\bigr |}\,{\bigr |}f(w){\bigl |}\,|dw|\\[2pt]&\,=\,\int \limits _{0}^{\beta _{i}}{\bigl |}~\!{\text{e}}^{\beta _{i}-\,w}{\bigr |}\left|\,{\frac {(b_{m}~\!\!)^{q}}{(p-1)!}}\,w^{~\!p-1}{\bigl [}B(w){\bigr ]}^{p}\,\right||dw|\\[2pt]&\,=\,\int \limits _{0}^{\beta _{i}}{\frac {{\bigl |}~\!{\text{e}}^{\beta _{i}-\,w}{\bigr |}}{|b_{m}~\!\!|}}\,{\frac {|w|^{p-1}{\bigl (}~\!|b_{m}~\!\!|^{m}~\!{\bigl |}B(w){\bigr |}~\!{\bigr )}^{p}}{(p-1)!}}\,|dw|\end{aligned}}}$

על־פי אי־שוויון המשולש מתקיים כי:

${\displaystyle 1\,\leq \,|N|\,=\,{\Bigg |}\sum _{i\,=\,1}^{m}A_{i}{\Bigg |}\,\leq \,\sum _{i\,=\,1}^{m}|A_{i}~\!\!|\,\leq \,\sum _{i\,=\,1}^{m}\,\int \limits _{0}^{\beta _{i}}{\frac {{\bigl |}~\!{\text{e}}^{\beta _{i}-w}{\bigr |}}{|b_{m}~\!\!|}}\,{\frac {|w|^{p-1}{\bigl (}~\!|b_{m}~\!\!|^{m}~\!{\bigl |}B(w){\bigr |}~\!{\bigr )}^{p}}{(p-1)!}}\,|dw|}$

אך לעומת זאת מתקיים כי

${\displaystyle \lim _{p~\!\to ~\!\infty }{\frac {|w|^{p-1}{\bigl (}~\!|b_{m}~\!\!|^{m}~\!{\bigl |}B(w){\bigr |}~\!{\bigr )}^{p}}{(p-1)!}}=0\quad :\!w\in \mathbb {C} }$

לאמר, עבור ${\displaystyle p}$ גדול מספיק מתקיים ${\displaystyle 1\leq |N|<1}$.

סתירה.

${\displaystyle \square }$

מסקנה: ${\displaystyle \pi i}$ טרנסצנדנטי, ולכן ${\displaystyle \pi }$ טרנסצנדנטי.

${\displaystyle \blacksquare }$

הפרק הקודם: המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים

הוכחה תרגילים

הפרק הבא: סוף