הקבוע המתמטי ${\displaystyle \pi =3.141592\ldots }$ (היחס בין היקף מעגל וקוטרו) הוא מספר אי־רציונלי. לאמר, לא ניתן לבטאו כמנת שני מספרים שלמים.

נניח בשלילה כי ${\displaystyle \pi }$ רציונלי, כלומר קיימים ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }$ עבורם ${\displaystyle \pi ={\frac {a}{b}}}$.
לכל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ נגדיר פולינום

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}}=\sum _{m\,=\,n}^{2n}{\frac {c_{m}}{n!}}x^{m},\quad :c_{m}\in \mathbb {Z} }$

מתקיים ${\displaystyle f(x)=f(\pi -x)}$ ולכן

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{(k)}\!(x)=(-1)^{k}f^{(k)}\!(\pi -x)&={\begin{cases}\displaystyle \sum _{m\,=\,n}^{2n}{\frac {k!}{n!}}{\binom {m}{k}}c_{m}x^{m-k}&:0\leq k\leq n-1\\[5pt]\displaystyle \sum _{m\,=\,k}^{2n}{\frac {k!}{n!}}{\binom {m}{k}}c_{m}x^{m-k}&:n\leq k\leq 2n\end{cases}}\\[5pt]f^{(k)}\!(0)=(-1)^{k}f^{(k)}\!(\pi )&={\begin{cases}0&:0\leq k\leq n-1\\[5pt]\displaystyle {\frac {k!}{n!}}c_{k}&:n\leq k\leq 2n\end{cases}}\end{aligned}}}$

עתה נגדיר ${\displaystyle N=\int \limits _{0}^{\pi }\sin(x)f(x)dx}$. האינטגרנד חיובי בקטע הפתוח ${\displaystyle (0,\pi )}$ ומתאפס רק בקצוות, ולכן מתקיים ${\displaystyle N>0}$.
שימוש חוזר באינטגרציה בחלקים מאפשר לנו להסיק כי

${\displaystyle N=-\cos(x)f^{(0)}\!(x){\bigg |}_{0}^{\pi }+\sin(x)f^{(1)}\!(x){\bigg |}_{0}^{\pi }+\cos(x)f^{(2)}\!(x){\bigg |}_{0}^{\pi }-\cdots \pm \cos(x)f^{(2n)}\!(x){\bigg |}_{0}^{\pi }\mp \int \limits _{0}^{\pi }\cos(x)f^{(2n+1)}\!(x)dx}$

האינטגרל האחרון מתאפס מפני שהביטוי ${\displaystyle f^{(2n+1)}\!(x)}$ הוא פולינום האפס, שכן ${\displaystyle \deg(f)=2n}$.
לכל ${\displaystyle 0\leq k\leq 2n}$ הפונקציות ${\displaystyle f^{(k)}\!(x),\sin(x),\cos(x)}$ מקבלות ערכים שלמים בקצות הקטע. לכן ${\displaystyle 1\leq N\in \mathbb {N} }$.

מאידך, בקטע הפתוח מתקיים

${\displaystyle {\begin{aligned}&0<x<\pi \\&0<a-bx<a\\&0<\sin(x)<1\end{aligned}}}$

על־פי אי־שוויון המשולש האינטגרלי מתקיים

${\displaystyle 1\leq N=\int \limits _{0}^{\pi }\sin(x)f(x)dx\leq \int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(\pi a)^{n}}{n!}}dx=\pi {\frac {(\pi a)^{n}}{n!}}}$

אך ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\pi {\frac {(\pi a)^{n}}{n!}}=0}$, לאמר עבור ${\displaystyle n}$ גדול מספיק מתקיים ${\displaystyle 1\leq N<1}$. סתירה.

${\displaystyle \square }$

מסקנה: ${\displaystyle \pi }$ מספר אי־רציונלי.

${\displaystyle \blacksquare }$