משפט

הטור ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ מתכנס אם ורק אם לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle k}$ כך שלכל ${\displaystyle n\geq m>k}$ מתקיים ${\displaystyle {\bigg |}\sum _{p=m}^{n}a_{p}{\bigg |}<\varepsilon }$ .

הוכחה (1)

נניח כי ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ מתכנס. אזי סדרת הסכומים החלקיים ${\displaystyle S_{n}}$ מתכנסת, לכן לפי קריטריון קושי לסדרות לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle k}$ כך שלכל ${\displaystyle n\geq m>k}$ מתקיים

${\displaystyle |S_{n}-S_{m}|={\bigg |}\sum _{p=1}^{n}a_{p}-\sum _{p=k}^{n}a_{p}{\bigg |}={\bigg |}\sum _{p=m}^{n}a_{p}{\bigg |}<\varepsilon }$

${\displaystyle \blacksquare }$

הוכחה (2)

נניח כי לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle k}$ כך שלכל ${\displaystyle n\geq m>k}$ מתקיים ${\displaystyle {\bigg |}\sum _{p=m}^{n}a_{p}{\bigg |}=|S_{n}-S_{m}|<\varepsilon }$ , כאשר ${\displaystyle S_{n}}$ סדרת הסכומים החלקיים של הטור.

לפי קריטריון קושי לסדרות נקבל כי ${\displaystyle S_{n}}$ מתכנסת, אזי הטור מתכנס.

${\displaystyle \blacksquare }$