משפט

תהי ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ סדרה חיובית ומונוטונית יורדת ושואפת ל־0. אזי הטור המתחלף ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}}$ מתכנס.

הוכחה

נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים בעלי האינדקס הזוגי ${\displaystyle S_{2n}}$ , כאשר ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}a_{k}}$ .

מהגדרת ${\displaystyle a_{n}}$ נקבל כי

$${\displaystyle {\begin{matrix}S_{2}=a_{1}-a_{2}\geq 0\\S_{4}=(a_{1}-a_{2})+(a_{3}-a_{4})\geq S_{2}\\S_{2n}=S_{2n-2}+(a_{2n-1}-a_{2n})\geq S_{2n-2}\\0\leq S_{2}\leq S_{4}\leq \cdots \leq S_{2n}\leq \cdots \\S_{2n}=a_{1}-(a_{2}-a_{3})-(a_{4}-a_{5})-\cdots -(a_{2n-2}-a_{2n-1})-a_{2n}\end{matrix}}}$$

כל אבר בסוגריים חיובי שכן ${\displaystyle a_{n}}$ מונוטונית יורדת, לכן ${\displaystyle S_{2n}\leq a_{1}}$ לכל ${\displaystyle n}$ . אזי ${\displaystyle S_{2n}}$ מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ומתכנסת לגבול ${\displaystyle L}$ .

סדרת הסכומים החלקיים בעלי האינדקס האי־זוגי גם כן מתכנסת (על סמך נימוק דומה: היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע) אך ניתן להסיק על התכנסותה ולחשב את סכומה ישירות בעזרת אריתמטיקה של גבולות.

מצאנו כי ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n}=L}$ וידוע כי ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ , אזי:

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=\lim _{n\to \infty }(S_{2n}+a_{2n+1})=\lim _{n\to \infty }S_{2n}+\lim _{n\to \infty }a_{2n+1}=L+0=L}$$

לפיכך, גם סדרת הסכומים החלקיים בעלי האינדקס הזוגי וגם סדרת הסכומים החלקיים בעלי האינדקס האי־זוגי מתכנסות ולאותו הגבול ${\displaystyle L}$ .

התפצלות סדרה למספר סופי של תת־סדרות אשר כולן מתכנסות לאותו הגבול גוררת את התכנסות הסדרה לגבול זה, לכן ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=L}$ ועל כן הטור מתכנס.

${\displaystyle \blacksquare }$