משפט

יהי ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ טור חיובי.

1. אם ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=L<1}$ הטור מתכנס.
2. אם ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=L>1}$ או ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\infty }$ , הטור מתבדר.

הוכחה (1)

נבחר מספר ${\displaystyle L<q<1}$ .

קיים ${\displaystyle k}$ כך שלכל ${\displaystyle n>k}$ מתקיים ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}<q}$ או ${\displaystyle a_{n}<q^{n}}$ .

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}}$ טור גאומטרי עם מנה ${\displaystyle 0<q<1}$ ולכן לפי מבחן ההשוואה ${\displaystyle \sum _{n=k+1}^{\infty }a_{n}}$ מתכנס.

אזי ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ מתכנס.

${\displaystyle \blacksquare }$

הוכחה (2)

קיים ${\displaystyle k}$ כך שלכל ${\displaystyle n>k}$ מתקיים ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1}$ או ${\displaystyle a_{n}>1}$ .

מכך נובע כי ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$ והטור מתבדר כיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס.

${\displaystyle \blacksquare }$