משפט

יהי ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ טור חיובי.

• אם ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=L<1}$ הטור מתכנס.
• אם ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=L>1}$ או ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\infty }$ , הטור מתבדר.

הוכחה

• ${\displaystyle L<1}$

נבחר מספר ${\displaystyle L<q<1}$ .

קיים ${\displaystyle N}$ כך שלכל ${\displaystyle n\geq N}$ מתקיים ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<q}$ או ${\displaystyle a_{n+1}<a_{n}\cdot q}$ . נציב את ${\displaystyle n}$ להיות ${\displaystyle N,N+1,N+2}$ וכו' באי־שוויון זה ונקבל:

$${\displaystyle {\begin{matrix}a_{N+1}<a_{N}\cdot q\\a_{N+2}<a_{N+1}\cdot q<a_{N}\cdot q^{2}\\a_{N+3}<a_{N+2}\cdot q<a_{N}\cdot q^{3}\end{matrix}}}$$

באופן כללי, ניתן לקבל באינדוקציה כי ${\displaystyle a_{N+k}<a_{N}\cdot q^{k}}$ לכל ${\displaystyle k\geq 1}$ .

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{N}\cdot q^{k}}$ מתכנס כטור גאומטרי וחיובי עם מנה ${\displaystyle 0<q<1}$ . אזי לפי מבחן ההשוואה ${\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{N+k}}$ מתכנס.

לכן ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ מתכנס.

${\displaystyle \blacksquare }$

• ${\displaystyle L>1}$ או ${\displaystyle L=\infty }$

קיים ${\displaystyle N}$ כך שלכל ${\displaystyle n\geq N}$ מתקיים כי ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1}$ או ${\displaystyle a_{n+1}>a_{n}}$ .

אזי${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ חיובית ומונוטונית עולה, לכן ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$ והטור מתבדר כיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס.

${\displaystyle \blacksquare }$