משפט

יהיו ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ טורים חיוביים.

1. אם ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\neq 0}$ סופי אז ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ מתכנס אם ורק אם ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ מתכנס.
2. אם ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0}$ אז מהתכנסות ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ נובעת התכנסות ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ .
3. אם ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty }$ אז מהתכנסות ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ נובעת התכנסות ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ .

הוכחה (1)

מהגדרת הגבול ${\displaystyle L}$ לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle k}$ כך שלכל ${\displaystyle n>k}$ מתקיים ${\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<L+\varepsilon }$ . נקבל כי ${\displaystyle (L-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(L+\varepsilon )b_{n}}$ .

אם ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ מתכנס, אז לפי מבחן ההשוואה ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(L-\varepsilon )b_{n}}$ מתכנס וזה כמובן אם ורק אם ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ מתכנס.

אם ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ מתבדר, אז לפי מבחן ההשוואה ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(L+\varepsilon )b_{n}}$ מתבדר וזה כמובן אם ורק אם ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ מתבדר.

${\displaystyle \blacksquare }$

הוכחה (2)

מהגדרת הגבול קיים ${\displaystyle k}$ כך שלכל ${\displaystyle n>k}$ מתקיים ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-0\right|={\frac {a_{n}}{b_{n}}}<1}$ או ${\displaystyle a_{n}<b_{n}}$ . לכן לפי מבחן ההשוואה אם ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ מתכנס אז ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ מתכנס.

${\displaystyle \blacksquare }$

הוכחה (3)

מהגדרת הגבול קיים ${\displaystyle k}$ כך שלכל ${\displaystyle n>k}$ מתקיים ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>1}$ או ${\displaystyle a_{n}>b_{n}}$ . לכן לפי מבחן ההשוואה אם ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ מתכנס אז ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ מתכנס.

${\displaystyle \blacksquare }$