משפט

תהי ${\displaystyle a_{n}}$ סדרה מונוטונית וחסומה, ויהי ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ טור מתכנס. אזי הטור ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ מתכנס.

הוכחה

נסמן ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}$ כי הסדרה הנ"ל מתכנסת. אז הסדרה ${\displaystyle \{a_{n}-a\}_{n=1}^{\infty }}$ מונוטונית ושואפת ל־0.

הטור ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ מתכנס, לכן בפרט סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה, כלומר קיים ${\displaystyle M>0}$ כך שלכל ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ מתקיים ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|<M}$ .

הסדרה ${\displaystyle {\big \{}a_{n}-a{\big \}}_{n=1}^{\infty }}$ והטור ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ מקיימים את תנאי מבחן דיריכלה, לכן הטור ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-a)b_{n}}$ מתכנס.

ידוע לנו כעת שהטורים ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n},\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-a)b_{n}}$ מתכנסים, לכן מכללי אריתמטיקה של טורים נובע שגם מכפלתם בקבוע (למשל ${\displaystyle a}$) וכן סכומם מתכנסים. אבל:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\Big [}(a_{n}-a)b_{n}+a\!\cdot \!b_{n}{\Big ]}=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-a)b_{n}+a\!\cdot \!\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$$

${\displaystyle \blacksquare }$