משפט

אם הטור ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ מתכנס, אזי ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ .

הוכחה

מהתכנסות הטור נובע כי סדרת הסכומים החלקיים ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ מתכנסת לגבול סופי ${\displaystyle L}$ . נשים לב כי לכל ${\displaystyle n\geq 2}$ מתקיים ${\displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1}}$ .

אזי לפי אריתמטיקה של גבולות סופיים נקבל כי:

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\Big [}S_{n}-S_{n-1}{\Big ]}=\lim _{n\to \infty }S_{n}-\lim _{n\to \infty }S_{n-1}=L-L=0}$$

${\displaystyle \blacksquare }$