משפט

טור מתכנס בהחלט הוא טור מתכנס.

הוכחה

נתבונן באי־השוויון הבא:

${\displaystyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$

מכיון ש־${\displaystyle |a_{n}|}$ שווה ל־${\displaystyle a_{n}}$ או ל־${\displaystyle -a_{n}}$ . אם ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ מתכנס בהחלט אז ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$ מתכנס, לכן גם ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2|a_{n}|}$ מתכנס.

על־פי מבחן ההשוואה לטורים חיוביים, מהתכנסות ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2|a_{n}|}$ נובעת התכנסות ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}a_{n}+|a_{n}|{\bigr )}}$ .

אזי ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}a_{n}+|a_{n}|{\bigr )}-\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$ הוא הפרש של שני טורים מתכנסים וככזה, הוא טור מתכנס.

${\displaystyle \blacksquare }$