משפט

אם ${\displaystyle f,g}$ גזירות בקטע ${\displaystyle (a,b)}$ ומתקיים ${\displaystyle f'(x)=g'(x)}$ לכל ${\displaystyle x\in (a,b)}$ , אזי הפונקציות נבדלות בקבוע כלשהו, כלומר ${\displaystyle f(x)=g(x)+c}$ .

הוכחה

נגדיר ${\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)}$ . על־פי הנתון מתקיים

${\displaystyle h'(x)=f'(x)-g'(x)=0}$

התאפסות הנגזרת גוררת שהפונקציה קבועה, ולכן ${\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)=c}$ עבור ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ כלשהו.

לכן ${\displaystyle f(x)=g(x)+c}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$