משפט

אם ${\displaystyle f,g}$ פונקציות גזירות ${\displaystyle n}$ פעמים, אזי: ${\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}}$ כאשר ${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ המקדם הבינומי.

הוכחה

באינדוקציה מתמטית על ${\displaystyle n}$ . המקרה ${\displaystyle n=1}$ ניתן לאימות בקלות:

$${\displaystyle (f\cdot g)^{(1)}=\sum _{k=0}^{1}{\binom {1}{k}}f^{(1-k)}g^{(k)}={\binom {1}{0}}f'g+{\binom {1}{1}}fg'=f'g+fg'}$$

נניח כי הטענה נכונה עבור ${\displaystyle n}$ , כלומר ${\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}}$ , ונוכיח נכונות עבור ${\displaystyle n+1}$ , כלומר ${\displaystyle (f\cdot g)^{(n+1)}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}}$

נשתמש בהנחת האינדוקציה וכן בכלל לנגזרת מכפלה הרגיל.

$${\displaystyle (f\cdot g)^{(n+1)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(f^{(n-k)}g^{(k)})'=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}}$$

כעת, נשנה באופן סימבולי את הסכימה באופן הבא:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\(f\cdot g)^{(n+1)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\end{aligned}}}$$

נחלץ את האבר הראשון מהסכימה הראשונה ואת האבר האחרון מהסכימה השניה ונקבל:

$${\displaystyle (f\cdot g)^{(n+1)}=f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+fg^{(n+1)}}$$

את הסכימות נאחד באופן הבא:

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}=\sum _{k=1}^{n}\left[{\Big (}{\tbinom {n}{k}}+{\tbinom {n}{k-1}}{\Big )}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right]}$$

נחשב את סכום מקדמי הבינום הנ"ל:

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}+{\frac {n!}{(k-1)!(n+1-k)!}}={\frac {(n+1)!}{k!(n+1-k)!}}={\binom {n+1}{k}}}$$

קיבלנו:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f\cdot g)^{(n+1)}&=f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+fg^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\end{aligned}}}$$