משפט

אם ${\displaystyle f,g}$ גזירות אזי נגזרות סכום והפרש הפונקציות שוות לסכום והפרש נגזרות הפונקציות.

הוכחה

נוכיח ישירות מהגדרת הנגזרת:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(f\pm g)(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)\pm g(x+h)-f(x)\mp g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)\pm g(x+h)\mp g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\pm {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\pm \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&={\frac {d}{dx}}f(x)\pm {\frac {d}{dx}}g(x)\end{aligned}}}$$