משפט

אם ${\displaystyle f(x)}$ גזירה אזי ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\bigl (}c\cdot f(x){\bigr )}=c\cdot {\frac {d}{dx}}f(x)}$ .

הוכחה

נוכיח ישירות מהגדרת הנגזרת:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\big (}c\cdot f(x){\big )}&=\lim _{h\to 0}{\frac {c\cdot f(x+h)-c\cdot f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}c\cdot {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}c\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=c\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=c\cdot {\frac {d}{dx}}f(x)\end{aligned}}}$$