משפט

אם ${\displaystyle f}$ זוגית אז ${\displaystyle f'}$ אי־זוגית. באופן דומה, אם ${\displaystyle f}$ אי־זוגית אז ${\displaystyle f'}$ זוגית.

אם ${\displaystyle f}$ זוגית אז ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$ . נחשב את נגזרתה בנקודה ${\displaystyle -x}$ לפי ההגדרה.

$${\displaystyle {\begin{aligned}f'(-x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(-x+h)-f(-x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x-h)-f(x)}{h}}=-\lim _{h\to 0}{\frac {f(x-h)-f(x)}{-h}}=-\lim _{y\to 0}{\frac {f(x+y)-f(x)}{y}}=-f'(x)\end{aligned}}}$$

אם ${\displaystyle f}$ אי־זוגית אז ${\displaystyle f(x)=-f(-x)}$ . נחשב את נגזרתה בנקודה ${\displaystyle -x}$ לפי ההגדרה.

$${\displaystyle {\begin{aligned}f'(-x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(-x+h)-f(-x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {-f(x-h)+f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x-h)-f(x)}{-h}}=\lim _{y\to 0}{\frac {f(x+y)-f(x)}{y}}=f'(x)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \blacksquare }$

אם ${\displaystyle f}$ זוגית אז ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$ . נגזור לפי כלל השרשרת ונקבל ${\displaystyle f'(x)=f'(-x)\cdot (-1)=-f'(-x)}$ . לפיכך ${\displaystyle f'}$ אי־זוגית.

אם ${\displaystyle f}$ אי־זוגית אז ${\displaystyle f(x)=-f(-x)}$ . נגזור לפי כלל השרשרת ונקבל ${\displaystyle f'(x)=-f'(-x)\cdot (-1)=f'(-x)}$ . לפיכך ${\displaystyle f'}$ זוגית.

${\displaystyle \blacksquare }$