משפט

אם ${\displaystyle f}$ הפיכה וגזירה בנקודה ${\displaystyle x_{0}}$ ומתקיים ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$ , אזי הפונקציה ההפוכה ${\displaystyle f^{-1}}$ גזירה בנקודה ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$ ונגזרתה היא ${\displaystyle f^{-1'}(y_{0})={\frac {1}{f'(x_{0})}}}$ .

הוכחה

נשתמש בכלל השרשרת על הפונקציה ${\displaystyle g(x)=f{\bigl (}f^{-1}(x){\bigr )}}$ כדי למצוא את נגזרתה בנקודה ${\displaystyle y_{0}}$ ונקבל ${\displaystyle g'(y_{0})=f'{\bigl (}f^{-1}(y_{0}){\bigr )}\cdot f^{-1'}(y_{0})}$ .

אבל ${\displaystyle f{\bigl (}f^{-1}(x){\bigr )}=x}$ ולכן ${\displaystyle g'(y_{0})=1}$ . כמו־כן ${\displaystyle f^{-1}(y_{0})=x_{0}}$ . לפיכך נקבל ${\displaystyle 1=f'(x_{0})\cdot f^{-1'}(y_{0})}$ .

נחלק ב־${\displaystyle f'(x_{0})}$ ונקבל ${\displaystyle f^{-1'}(y_{0})={\frac {1}{f'(x_{0})}}}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$