משפט

אם ${\displaystyle f}$ רציפה בקטע הסגור ${\displaystyle [a,b]}$ וגזירה בקטע הפתוח ${\displaystyle (a,b)}$ ומתקיים ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ , אזי קיימת נקודה ${\displaystyle c\in (a,b)}$ עבורה ${\displaystyle f'(c)=0}$ .

הוכחה

נחלק לשלושה מקרים:

• ${\displaystyle f}$ פונקציה קבועה – במקרה זה ${\displaystyle f'(c)=0}$ לכל ${\displaystyle c\in (a,b)}$ .
• ${\displaystyle f(x)>f(a)}$ עבור ${\displaystyle x\in (a,b)}$ כלשהו. מהנחת הרציפות על־פי המשפט השני של ויירשטראס ${\displaystyle f}$ מקבלת בקטע הסגור מקסימום.

${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ולכן מקסימום זה בנקודה פנימית ${\displaystyle c\in (a,b)}$ . מהנחת הגזירות נובע ממשפט פרמה כי ${\displaystyle f'(c)=0}$ .

• עבור ${\displaystyle f(x)<f(a)}$ ההוכחה זהה למקרה הקודם. רק יש להחליף במילה "מינימום".

${\displaystyle \blacksquare }$