משפט

אם ${\displaystyle f}$ פונקציה גזירה בנקודה ${\displaystyle a}$ כאשר זו נקודת מקסימום מקומי או נקודת מינימום מקומי, אזי ${\displaystyle f'(a)=0}$ .

הוכחה

נוכיח עבור מקסימום מקומי.

קיים ${\displaystyle \delta >0}$ עבורו לכל ${\displaystyle x\in (a-\delta ,a+\delta )}$ מתקיים ${\displaystyle f(x)\leq f(a)}$ . לכן ${\displaystyle f(x)-f(a)\leq 0}$ .

עבור ${\displaystyle x<a}$ בסביבה נחלק ב־${\displaystyle x-a<0}$ ונקבל ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\geq 0}$ . ממשפט המונוטוניות של גבולות נובע כי

${\displaystyle f'(a)=\lim _{x\to a^{-}}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\geq 0}$

עבור ${\displaystyle x>a}$ בסביבה נחלק ב־${\displaystyle x-a>0}$ ונקבל ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\leq 0}$ . ממשפט המונוטוניות של גבולות נובע כי

${\displaystyle f'(a)=\lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\leq 0}$

קיבלנו כי ${\displaystyle 0\leq f'(a)\leq 0}$ , לכן ${\displaystyle f'(a)=0}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$

הערה: ההוכחה עבור מינימום מקומי זהה. ההבדל היחיד הוא כי בה ${\displaystyle f(x)\geq f(a)}$ , אבל עדיין הגבולות החד־צדדיים יהיו נוגדים זה לזה כמו כאן ומתקבלת המסקנה כי הנגזרת בנקודה היא 0.