משפט

תהיינה ${\displaystyle f,g}$ פונקציות רציפות בקטע הסגור ${\displaystyle [a,b]}$ , גזירות בקטע הפתוח ${\displaystyle (a,b)}$ ומתקיים ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ לכל ${\displaystyle x\in (a,b)}$ .

אזי קיימת נקודה ${\displaystyle c\in (a,b)}$ עבורה ${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}$ .

הוכחה

תהי ${\displaystyle y(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}{\bigl (}g(x)-g(a){\bigr )}}$ משוואת הישר העובר בנקודות ${\displaystyle {\bigl (}g(a),f(a){\bigr )},{\bigl (}g(b),f(b){\bigr )}}$ , רציפה וגזירה בכל הקטע ונגזרתה קבועה ${\displaystyle y'(x)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}$ .

נגדיר פונקציה נוספת ${\displaystyle h(x)=f(x)-y(x)}$ , רציפה בקטע ${\displaystyle [a,b]}$ כהפרש פונקציות רציפות, גזירה בקטע ${\displaystyle (a,b)}$ כהפרש פונקציות גזירות ומקיימת ${\displaystyle h(a)=h(b)=0}$ .

${\displaystyle h(x)}$ מקיימת את שלושת תנאי משפט רול, לפיכך קיימת נקודה ${\displaystyle c\in (a,b)}$ עבורה ${\displaystyle h'(c)=0}$ :

$${\displaystyle h'(c)=f'(c)-y'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g'(c)=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}$$

${\displaystyle \blacksquare }$