משפט

תהי ${\displaystyle f}$ פונקציה רציפה בקטע הסגור ${\displaystyle [a,b]}$ וגזירה בקטע הפתוח ${\displaystyle (a,b)}$ . אזי קיימת נקודה ${\displaystyle c\in (a,b)}$ עבורה ${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ .

הוכחה ישירה

תהי ${\displaystyle y(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}$ משוואת הישר העובר בנקודות ${\displaystyle {\bigl (}a,f(a){\bigr )},{\bigl (}b,f(b){\bigr )}}$ , רציפה וגזירה בכל הקטע ונגזרתה קבועה ${\displaystyle y'(x)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ .

נגדיר פונקציה נוספת ${\displaystyle h(x)=f(x)-y(x)}$ , רציפה בקטע ${\displaystyle [a,b]}$ כהפרש פונקציות רציפות, גזירה בקטע ${\displaystyle (a,b)}$ כהפרש פונקציות גזירות, ומקיימת ${\displaystyle h(a)=h(b)=0}$ .

${\displaystyle h(x)}$ מקיימת את שלושת תנאי משפט רול, לפיכך קיימת נקודה ${\displaystyle c\in (a,b)}$ עבורה ${\displaystyle h'(c)=0}$ :

$${\displaystyle h'(c)=f'(c)-y'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\quad \Rightarrow \quad f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$$

${\displaystyle \blacksquare }$

הוכחה באמצעות משפט הערך הממוצע של קושי

משפט הערך הממוצע של קושי מהווה הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' ומוכח ללא תלות במשפט לגראנז'.

אם ${\displaystyle f,g}$ רציפות בקטע ${\displaystyle [a,b]}$ , גזירות בקטע ${\displaystyle (a,b)}$ ומתקיים ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ לכל ${\displaystyle x\in (a,b)}$ , אזי קיימת נקודה ${\displaystyle c\in (a,b)}$ עבורה ${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}$ .

${\displaystyle g(x)=x}$ היא פונקציה רציפה וגזירה על כל הישר הממשי ונגזרתה לא מתאפסת אף פעם, לכן ניתן להשתמש עליה במשפט קושי ונקבל:

$${\displaystyle {\frac {f'(c)}{1}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$$

${\displaystyle \blacksquare }$