משפט

תהי ${\displaystyle f}$ רציפה בקטע הסגור ${\displaystyle [a,b]}$ , גזירה בקטע הפתוח ${\displaystyle (a,b)}$ , גזירה מימין ב־${\displaystyle a}$ וגזירה משמאל ב־${\displaystyle b}$ .

יהי ${\displaystyle y}$ עבורו ${\displaystyle f'(a^{+})<y<f'(b^{-})}$ או ${\displaystyle f'(a^{+})>y>f'(b^{-})}$ .

אזי קיים ${\displaystyle c\in [a,b]}$ עבורו ${\displaystyle f'(c)=y}$ .

במילים אחרות: תחת תנאי המשפט, ${\displaystyle f'}$ מקיימת את משפט ערך הביניים, מבלי שכלל תצטרך להיות רציפה בקטע.

הוכחה

נניח ללא הגבלת הכלליות כי ${\displaystyle f'(a^{+})<y<f'(b^{-})}$ .

נגדיר פונקציה ${\displaystyle g(x)=f(x)-yx}$ . זו גזירה בקטע הפתוח ${\displaystyle (a,b)}$ ובעלת נגזרות חד־צדדיות בקצות הקטע כהפרש פונקציות גזירות בקטע וחד־צדדית בקצותיו.

נגזרתה היא ${\displaystyle g'(x)=f'(x)-y}$ והיא מקיימת ${\displaystyle g'(a^{+})<0<g'(b^{-})}$ כי:

${\displaystyle {\begin{matrix}g'(a^{+})=f'(a^{+})-y<0\\g'(b^{-})=f'(b^{-})-y>0\end{matrix}}}$

${\displaystyle g}$ רציפה בקטע הסגור ${\displaystyle [a,b]}$ כהפרש פונקציות רציפות. לפיכך, על־פי המשפט השני של ויירשטראס היא מקבלת מינימום בקטע זה.

• מינימום זה לא יכול להתקבל בנקודה ${\displaystyle a}$ כי ${\displaystyle g'(a^{+})<0}$ ולכן ${\displaystyle g}$ יורדת מקומית שם.
• מינימום זה לא יכול להתקבל בנקודה ${\displaystyle b}$ כי ${\displaystyle g'(b^{-})>0}$ ולכן ${\displaystyle g}$ עולה מקומית שם.

לפיכך, המינימום חייב להתקבל בנקודה ${\displaystyle c\in (a,b)}$ .

ממשפט פרמה נובע כי ${\displaystyle g'(c)=f'(c)-y=0}$ . לכן ${\displaystyle f'(c)=y}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$