משפט

אם ${\displaystyle f}$ גזירה בקטע ${\displaystyle (a,b)}$ ומתקיים ${\displaystyle f'(x)\geq 0}$ לכל ${\displaystyle x\in (a,b)}$ , אזי ${\displaystyle f}$ מונוטונית עולה בקטע ${\displaystyle (a,b)}$ .

הוכחה

יהיו ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in (a,b)}$ ונניח ללא הגבלת הכלליות כי ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ .

${\displaystyle f}$ גזירה בקטע ${\displaystyle (a,b)}$ , ובפרט גזירה בקטע הפתוח ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ורציפה בקטע הסגור ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$ .

תנאי משפט הערך הממוצע של לגראנז' מתקיימים, לפיכך קיים ${\displaystyle c\in (x_{1},x_{2})}$ עבורו

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\geq 0}$

מכך נובע כי ${\displaystyle f(x_{1})\leq f(x_{2})}$ . לכן ${\displaystyle f}$ מונוטונית עולה בקטע ${\displaystyle (a,b)}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$

משפט

אם ${\displaystyle f}$ גזירה בקטע ${\displaystyle (a,b)}$ ומתקיים ${\displaystyle f'(x)\leq 0}$ לכל ${\displaystyle x\in (a,b)}$ , אזי ${\displaystyle f}$ מונוטונית יורדת בקטע ${\displaystyle (a,b)}$ .

הוכחה

ההוכחה דומה מאוד להוכחה לעיל. ההבדל היחיד הוא שכאן נקבל כי ${\displaystyle f(x_{1})\geq f(x_{2})}$ ולכן ${\displaystyle f}$ מונוטונית יורדת בקטע ${\displaystyle (a,b)}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$